第十二章 第二节 逆变换与逆矩、矩阵的特征向量推荐.doc

第十二章 第二节 逆变换与逆矩、矩阵的特征向量 课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点　 容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 逆矩阵的求法 1 2、6 二元一次方程组的矩阵解法 4 二阶矩阵的特征值和特征向量 3、5、7 8 1．(2009·江苏高考)求矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(3　2),\s\do5(2　1))))的逆矩阵． 解：设矩阵A的逆矩阵为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x　y),\s\do5(z　w))))， 则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(3　2),\s\do5(2　1)))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x　y),\s\do5(z　w))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1　0),\s\do5(0　1))))， 即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(3x＋2z　3y＋2w),\s\do5(2x＋z　2y＋w))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1　0),\s\do5(0　1))))， 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2z＝1，,2x＋z＝0，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3y＋2w＝0，,2y＋w＝1，)) 解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 从而A的逆矩阵为A－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(－1　　2),\s\do5(　2　－3)))). 2．若曲线C：x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　a,b　1))的作用下变成曲线C′：x2－2y2＝1. (1)求a，b的值； (2)求M的逆矩阵M－1. 解：(1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　a,b　1)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y)) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋ay,bx＋y))， 又曲线c′：x2－2y2＝1，所以 (x＋ay)2－2(bx＋y)2＝1，整理得 (1－2b2)x2＋(2a－4b)xy＋(a2－2)y2＝1， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－2b2＝1，,2a－4b＝4，,a2－2＝2，))解得a＝2，b＝0. (2)M＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　2,0　1))，故M－1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1　－2,0　　1)). 3．已知矩阵A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4　－1,6　－1))，α＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，求A100α. 解：A的特征多项式f(λ)＝(λ－1)(λ－2)， 令f(λ)＝0得A的特征值为λ1＝1，λ2＝2， (1)当λ1＝1时，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－y＝0,6x－2y＝0))得A的特征向量ξ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k,3k))(k∈R且k≠0)，取ξ1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,3)). (2)当λ2＝2时，解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝0,6x－3y＝0))得A的特征向量ξ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(k,2k))(k∈R且k≠0)． 取ξ2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2)).∴令α＝t1ξ1＋t2ξ2， 即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))＝t1eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,3))＋t2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t1＝－1,t2＝3)). 因此，A100α＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×2100－1,3×2101－3)). 4．(