第四章 微分中值定理与导数的应用推荐.ppt

单位成本(即平均成本)最小的问题 设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为 最小,,必须使产量Q满足条件 表明产出的边际成本等于平均成本 例 解 总收益 R(Q)=PQ=60Q, 总利润 L(Q)=R(Q)-C(Q) 令L?(Q)=0,得唯一驻点Q0=200, 又L?(Q0)=L ?(200)=-0.6＜0， 所以当日产量为Q0 =200单位时可获最大利润. 最大利润为 L(200) =3000(元) 二、 库存问题 假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型. 设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q= ,进货周期为t= ,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2, 在计划期(T天)内总费用E由两部分组成 (1) 进货费 (2) 贮存费 于是总费用E可表示为批量q的函数 最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到极小值, 最优进货次数为 最优进货周期 最小总费用 三、 复利问题 例 设林场的林木价值是时间t的增函数V= ,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间． 解 如果考虑到资金的时间因素, 晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值． 设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)= 的现值,按连续复利计算应为 四、 其他优化问题 例 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(km／h)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少? 解 得唯一驻点v=26.15(km／h).由于这是一个实际问题，所以函数的最大值必存在. 当车速v=26.15km／h时,车流量最大,且最大车流量为 f(26.15)=8.8(辆/秒). 第六节 函数的凸性、曲线的拐点及渐近线 一、函数的凸性、曲线的拐点 在(0,?)上都是单调的,但它们增长方式不同,从几何上来说，两条曲线弯曲方向不同. 函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性. 向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反． 在曲线y=f(x)上任取两点(x1, y1)和(x2, y2), 设x1 x2 联结这两点的弦的参数方程 对任意t∈[0,1],则可得区间[x1, x2]内一点 曲线上对应点的纵坐标 弦上对应点的坐标 定义1 设f(x)在[a,b]上连续,对任意两点x1, x2? [a,b],若有 定理1 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶 导数,那么 (1)若在(a,b)内f“ (x)0,则f(x)在[a,b]上是严格下凸的; (2)若在(a,b)内f“ (x)0,则f(x)在[a,b]上是严格上凸的. 例 解 定义2 设f(x)∈C(U(x0)),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0))为该曲线的拐点． 例 解 若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,则f?(x0)=0或 f?(x0)不存在. 二、 曲线的渐近线 1. 水平渐近线 定义3 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果 f(x) =A或 f(x)=A(A为常数),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线． 例 解 2.垂直渐近线 定义4 设函数y=f(x)在点x0处间断,如果 f(x)=∞或 f(x)=∞,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线． 例 解 3. 斜渐近线 定义5 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系： [f(x)-(ax+b)]=0 或 [f(x)-(ax+b)]=0, 则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线． 例 解 三、 函数图形的描绘 (1) 确定y=f(x)的定义域; (3) 求出f?(x)=0和f?(x)=0的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间; (2) 讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等; (4)列表确定函数的单调区间和极值及曲