3谱表示法.pdf

麻省理工 Guido Kuersteiner 经济系 时间序列14.384 第三讲笔记 平稳过程的谱表示法 从前面的讲义我们已经知道一个平稳时间序列的独立性质能用自协方差函数 描述。在 附录B 中，将证明 能用谱分布函数 的形式表示，如下： 谱分布测度 过程的总体方差中归因于一定时间间隔频率的部分。例如，如果我们有月 数据，那么一月相当于 ，两月相当于 ，一年相当于 。为了测度由不只一年时间长度 的周期性因素所产生的方差，我们可以考虑用 表示 。附录A 讨论了阐明这 种解释的简单例子。 如果分布函数 有一个密度函数 ，那么 （3.1 ）能被写作 其中 是 傅立叶变换。此外，如果谱密度 属于平方可积空间 ，那 么傅立叶逆变换存在并且由 给定。 这种关系必须保持在 ，因为 是一个以 为基的希尔伯特 空间。于是，从 （3.2 ）知道自协方差函数 是 投射在基本向 量上的回归系数。如果 ，那么 收敛并且其极限 几乎处处都是 。 在 ARMA 模型 中，事 实上 有 。那么 ，序列 绝对一致收敛，并且其极限几乎处处都是 。因此，在这种情 况下，一般都直接用 （3.3 ）来定义谱密度。 3.1 谱密度的性质 为了简化论证，我们假定 。既然如此，我们能够在傅立叶 逼近（3.3 ）的基础上建立 的性质。然而，在这一节讨论的性质只适用于一般平稳过程。 如果 是一个实值弱平稳过程，那么 。于是，就得到 。 为了证明 ，我们引入下述具有独立重要性的概念。 序列的被定义为前 N 个部分和的平均 值。令 并且定义 ，则有 我们想要证明如果 ，那么 。这能从Toeplitz 引理得到。 引理3.1（Toeplitz）：令 是一个跳跃的序列并且当n 趋于无穷时， 。令 为一组权数并且满足当n 趋于无穷时，对所有 n 都有 且对所有 i 都有， ，那么 证明：对任意 ， 都有 并且取这样的n 使得 ，取N 使得对于所有的 ，都 有 。 则有 并且 其中最后的不等式从 。既然 是任意的，那么所要证明的结果就能得到。 设 ，立刻就能得到如果 ，那么 。回到前面的谱密度 如果 ,那么现在我们就说 。令 是 的切萨罗平均 ，我们能知道对于所有n 于是 ，使得 。 最后，我们注意到 。我们把这些结果总结在下面的定理 中。 定理3.2 （Spectral Density ）：如果一个实值弱平稳过程有一