2018春中考数学《第18课：等腰三角形》.ppt

【证明】∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD， 即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC， ∴△DBC≌△EAC(S.A.S.)， ∴∠DBC=∠EAC. 又∵∠DBC=∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠EAC， ∴AE∥BC. 热点考向三 线段垂直平分线的性质与判定? 【例3】(2013·泰州中考)如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　　　　cm. 【思路点拨】由BC的垂直平分线l与AC相交于点D知BD=CD，所以AD+BD=AD+CD=AC. 【自主解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，∴BD=DC，∴△ABD的周长=AB+AC=6cm. 答案：6 【规律方法】线段垂直平分线的应用特征 1.线段垂直平分线中的两组线段相等： (1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. (2)被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段. 2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质. 【真题专练】 1.(2013·仙桃中考)如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直 平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂 直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN 的长为　(　　) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 【解析】选C.连接MA，NA.∵AB的垂直 平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的 垂直平分线交BC于点N，交AC于点F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN= BC=2cm. 2.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC= 15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是　　　. 【解析】∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∴∠A=∠ABD， ∵∠DBC=15°， ∴∠ABC=∠A+15°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=∠A+15°， ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°， 解得∠A=50°. 答案：50° 【知识归纳】线段垂直平分线的两个条件 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于线段.这两个条件缺一不可. 3.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. (1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明). (2)连接BD，求证：BD平分∠CBA. 【解析】(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线. (2)∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30° ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°. ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°. ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°. ∴∠ABD=∠CBD， 即BD平分∠CBA. 【知识归纳】线段垂直平分线与角平分线的区别与联系 联系：1.都有“平分、距离相等”的特点. 2.线段的垂直平分线是线段的对称轴；角平分线所在的直线是角的对称轴. 区别：线段的垂直平分线是一条直线；角平分线是一条射线. 命题新视角 坐标系中的等腰三角形 【例】(2013·昆明中考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有　　　　个. 【审题视点】 创新点 图形与坐标的探索题： (1)等腰三角形与直角坐标系中点相结合. (2)数形结合思想的巧妙运用. 切入点 (1)线段OA垂直平分线与坐标轴的交点. (2)以O为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴的交点. (3)以A为圆心，AO长为半径的圆与坐标轴的交点. 【自主解答】如图所示，使得 △AOP是等腰三角形的点P共有8个. 答案：8 【规律方法】抓住关键，寻找第三个顶点 在直角坐标系中寻找等腰三角形第三个顶点的关键： 1.底边垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此寻找等腰三角形底边所对的顶点. 2.以顶点为圆心，以腰长为半径画圆，寻找底边的另一个端点. 【真题专练】 1.(2013·莱芜中考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 的坐标为(1， )，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三 角形，则满足条件的点M的个数为　(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 【解析】选C. 连接O