人教版高数必修二第13讲：空间直角坐标系(教师版).docx

空间直角坐标系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系 1. 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示. 点叫做坐标原点，、和三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向.2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做坐标平面．xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数；x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法1.关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称 三、空间两点间的距离公式 一般地，空间中任意两点间的距离为 特殊地，任一点到原点的距离为类型一 空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D′(0,0,2)．因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)．同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)．因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)．同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E点在xOy面上的射影为B(1,1,0)，且z坐标为，∴E.F点在xOy面上的射影为BD的中点G，G，且z坐标为1，∴F.练习2：点(2,0,3)位于(　)A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内答案：C例2：已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴、y轴建系．如以A为顶点AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD边长AB＝2，∴AO＝OC＝OB＝OD＝，又VO＝3，∴A(0，－，0)，B(，0,0)，C(0，，0)，D(－，0,0)，V(0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．答案：∵OB′与BD′相交于Q点，∴Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，∴Q点坐标为.同理可知Q点在xOz平面内的投影