人教版高数必修三第12讲：概率的一般加法公式(教师版).docx

概率的一般加法公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。2. 能在实际问题中应用概率的一般加法公式。1．事件的交(或积)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．(1)用集合形式表示，如图．(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．2．概率的一般加法公式设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，∴P(A∪B)＝＝＝＋－＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．(1)当A、B为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)应用公式时，一定要把握好A与B的公共基本事件数．即A∩B的基本事件数．类型一概率的加法公式例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．[解析]　设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，记为(x，y)，则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P(A∩B)＝.所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.[答案]　练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．[答案]　(1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.(3)设事件A为“甲住A”，事件B为“乙住A”，则P(A)＝，P(B)＝.事件A∩B为“甲、乙均住A”，其概率P(A∩B)＝.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.类型二概率的一般加法公式在实际中的应用例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．(1)有电脑的；(2)有钢琴的；(3)既有电脑又有钢琴的；(4)有电脑或钢琴的．[解析]　“有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和“有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．(1)由于楼上共50户，有电脑的43户，故所求事件的概率为＝0.86.(2)有钢琴的36户，故所求事件的概率为＝0.72.(3)既有钢琴又有电脑的共43＋36＋1－50＝30户，故所求事件的概率为＝0.6.(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98.或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所求事件的概率P＝1－＝1－0.02＝0.98.练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是(　　)A．P1＋P2－P3 B．P1＋P2－P1P2－P3 C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3[答案]　A练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率．[答案]　解法一：同时抛掷两枚骰子可