人教版高数必修五第1讲：正弦定理和余弦定理(教师版).docx

正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即中，若所对的边分别为则解三角形一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有唯一解；已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。正弦定理的常见公式拓展：①（为的外接圆半径）②（边化角公式）③(角化边公式)④⑤⑥余弦定理①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。②定义式： 余弦定理的变形式和特例① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 余弦定理可以解决的两类三角形问题已知三边长，求三个内角；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。例1：（2015山东潍坊一中月考）在中，已知 则等于（）A. B. C. D.解析： 由已知可得由得 ，故选C 答案：C练习1：在中，若,,则()答案：B练习2：在中，已知求答案：例2：在中，若试求 解析：由余弦定理的变形公式，得因为所以答案： 练习3：在中，若试求 答案： 练习4：在中，若试求 答案： 规律总结：已知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。例3：(2014北京高考)在中，则=（）A. B. C. D.解析：根据得，代入数值得,故选B答案：B练习5：（2015广东六校联盟第三次联考）)在中， 则此三角形的最短边的长度是__________答案： 练习6：（2014广东深圳模拟）已知分别为内角所对的边，且 则的值_________答案： 例4：设的内角所对的边分别为若 则角为（）A. B. C. D. 解析： 由正弦定理知代入得由余弦定理知故选B答案：B练习7：在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则等于(　　)A. 5　 B. 4 C.3　 D.10答案： A 练习8：在△ABC中，已知，则角A等于(　　)答案：C类型三：判断三角形形状及面积例5：（2015辽宁锦州月考）在中分别为内角所对的边，若则的形状为（）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上皆有可能解析：由正弦定理及已知条件得而故,整理得又因为所以即所以是直角三角形。答案：C练习9：在中，如果则的形状为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案：A练习10：在中，如果,则的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案：A例6：在中，则的面积为____解析：由正弦定理知所以,当时,当时，答案：练习11：在中，则的面积等于多少答案：例7：(2014·江西理)在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)A. 3　 B. C. 　 D. 3解析：由题设条件得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab，∴ab＝6，∴S△ABC＝absin＝×6×＝.选C．答案：C练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)答案：锐角练习13：若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为________．答案：(，)规律总结：做这块的类型题，熟练应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形本身的角度问题。1.在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，∠C＝75°，则BC等于(　　)A．3－ B． C．2　D．3＋答案：A2.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、若2asinB＝b，则角A等于(　　)A．　B．C．　D．答案：D3.已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边的长为__________．答案：2cm4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，则边a＝________.答案：15．在△ABC中，B＝45°，AC＝，cosC＝，求边BC的长．答案：BC＝3.6. △ABC的内