人教版高数必修一第9讲：指数运算与指数函数(教师版).docx

指数运算与指数函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质。一、有理数指数幂及运算性质1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂；（2）零指数幂；（3）负整数指数幂（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。2、有理数指数幂的性质（1）（2） （3）二、根式1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。2、对于根式记号，要注意以下几点： （1），且；（2）当是奇数，则；当是偶数，则；（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。3、规定：（1）；（2）三、对指数函数定义的理解一般地，函数叫做指数函数。1、定义域是。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在的前提下，可以是任意实数。2、规定,且的理由：（1）若， （2）若，如，当、等时，在实数范围内函数值不存在。（3）若，，是一个常量，没有研究的必要性。 为了避免上述各种情况，所以规定,且。3、式上的严格性：指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1。自变量在指数的位置上。比如等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如，因为它可以化为，其中，且。四、指数函数的图象和性质：图象性质定义域：值域：图像都过点在上是增函数在上是减函数特别提醒：角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：在轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变大。即不论在轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。五、比较幂值得大小底数相同：利用函数的单调性进行比较； 指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按逆时针方向由小变大。指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。六、指数方程的可解类型，可分为：形如的方程，化为求解。形如的方程，可令进行换元，转化成一元二次方程进行求解。七、指数不等式的解法：当时，与同解，当时，与同解。类型一根式与分数指数幂的互化例1：(1)用根式表示下列各式：a；a；；(2)用分数指数幂表示下列各式：；；.解析：(1)a＝；a＝；a－＝.(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－.答案：见解析练习1：把根式化为分数指数幂的形式：＝__________.答案：ab练习2：用根式表示下列各式：x；x－答案：x＝.x－＝.类型二根式与分数指数幂的混合运算例2：计算：解析：原式＝答案：38练习1：化简：1.5×0＋80.25×＋(×)6－；答案：110练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简＋＝(　　)A．－2πB．6C．2πD．－6答案：D类型三指数函数的定义例3：下列函数中，哪些是指数函数？①y＝10x；② y＝10x＋1；③ y＝10x＋1；④y＝2·10x；⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)；⑦y＝x10.解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．综上可知，①、⑥是指数函数．答案:①、⑥练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　)A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2 D．a0且a≠1答案：C类型四指数函数的图象和性质 例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　)A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0解析：由图象呈下降趋势可知0a1，又由图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知a－b1，即－b0，∴b0.答案：D练习1：若函数y＝ax＋m－1(a0)的图象经过第一、三和第四象限，则(