第2章_静力学基本概念.docVIP

力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A点施加一力F，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点O到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时，力F越大，转动越快。当力F不变时，d值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示，即 （3－1） O点称为转动中心，简称矩心。矩心O到力作用线的垂直距离d称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F1、F2对O点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 合力矩定理 我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。 证明：如图3－4所示，设在物体上的A点作用有两个汇交的力F1和F2，该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点O为矩心，过O点并垂直于OA作为y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线，令Y1、Y2和Ry分别表示力F1、F2和R在y轴上的投影。由图3－4可见 各力对O点之矩分别为 (a) 根据合力矩定理有 上式两边同乘以OA得 将（a）式代入得 以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为 （3－3） 虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用于有合力的其它平面力系。 【例3－2】 图3－5所示每1m长挡土墙所受土压力的合力为R，它的大小R=200kN，方向如图所示，求土压力R使墙倾覆的力矩。 【解】：土压力R可使挡土墙绕A点倾覆，求R使墙倾覆的力矩，就是求它对A点的力矩。由于R的力臂求解较麻烦，但如果将R分解为两个分力F1和F2，则两分力的力臂是已知的。为此，根据合力矩定理，合力R对A点之矩等于F1、F2对A点之矩的代数和。则 【例3-3】 求图3－6所示各分布荷载对A点的矩 【解】：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方向与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩 （1）计算图3－6（a）三角形分布荷载对A点的力矩 （2）计算图3－6（b）均布荷载对A点的力矩为 （3）计算图3－6（c）梯形分布荷载对A点之矩。此时为避免求梯形形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别为R1和R2，则有 第三节 力偶及其基本性质 一、力偶和力偶矩 在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘（图3－7（a）），木工用丁字头螺丝钻钻孔（图3－7（b）），以及用拇指和食指开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶。用符号（F，F′）表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。 实践表明，当力偶的力F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转动效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用表示，即 （3－4） 式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。在平面力系中，力偶矩