华罗庚学校数学教材(六年级下)第09讲_从算术到代数(一).doc

本系列共 14 讲  第九讲 从算术到代数（一） . 文档贡献者：WINNER 算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代 数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的. 在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的 加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复 杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以 下三种关系： ①部分数与总数的关系； ②两数差的关系； ③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第 1、第 2 种关系 用“加”、“减”法完成，第 3 种关系则用乘、除法完成.在解四则运 算题时用到了对于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交 换律、结合律、分配律.设 a、b、c 表示任意三个数，下列等式恒成 立： 交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a 结合律：（a+b）+c=a+（b＋c） （a×b）×c=a×（b×c） 分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c. 另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类 型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、…. 对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解 释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术方法解应用题时， 对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方 法解应用题是不带普遍性的. 代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程” 来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一. 用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用 x，y，z，t，s， u，v 等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知 数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为 算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确 定其中所含未知数应该等于什么样的值，即“解方程”.而解方程的 原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学 过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都 成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只 要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起 来用代数方法解应用题的步骤如下： 1.设未知数.常用 x，y，z，t，s，…等字母表示. 2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表 未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表 示出来，特别注意找出其中的相等关系.用两个代数式表示同一个数 量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有 n 个 相等关系就能列出 n 个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最 方便的形式. 3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如 ax＝b 的方程，进而 解出 x = b ，一般步骤是： a ①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出 来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）. 例 1 64+x=3（32-x） （1） 64+x=96-3 （2） x+3x=96-64 （3） 4x＝32 （4） x=8. （5） ②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开 来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成 （3）. ③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）. ④用未知数的系数去除方程两端求出 x 的值.如上例中的（4）变 成（5）. 4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去， 二是根据题目的实际意义，删除不合理的解. 先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法” 作一比较. 例 2 车站给某工厂运 2000 箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给 5 元运费.如损坏一箱，不给运费，倒赔 40 元.这批玻璃运到后，车站 共收到运货款 9190 元.问损坏了几箱玻璃. 解：①算术解法：假如设有损坏，2000 箱玻璃全运到，则应得 运货款：2000× 5= 10000（元）. 和实际所得运货款相差： 10000-9190=810（元）. 现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数 2000 不 变 ， 但每换一箱所得运货款减少： 40＋5=45（元） 那么换多少箱，货款正好减少多出来的 810 元呢？做除法： 810÷45＝18（箱）. 答：共换坏了 18 箱. ②代数解法： 设损坏了 x 箱，则没损坏的共 2000-x 箱. 依题意列方程 5（2000-x）－40x=9190 45x=10000－9190 45x=810 x=18. 答：损坏了 18 箱. 比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在 后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性