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信息安全数学基础习题答案 整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , kZ 5|n 所以5|2k ， 又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1 即k1=7 k2，k2Z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2Z 因此70|n 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，kZ 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，kZ 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，kZ 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0Z （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a） 即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), kZ 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数 所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13 经验算都不能整除191 所以191为素数。 因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23 经验算都不能整除547 所以547为素数。 由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。 8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9 10．证明：p1 p2 p3|n， 则n= p1 p2 p3k，kN+ 又p1≤ p2 ≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3 p1为素数 则p1≥2，又p1≤ p2 ≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22 即p2≤(n/2)1/2 得证。 11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数： 12．证明：反证法 假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得到的还是3k+1的形式，不能得出3k-1的数，因此假设不成立，结论得证。 同理可证其他。 13．证明：反证法 假设形如4k+3的素数只有有限个，记为p1, p2,…, pn 因为4k+3=4k`-1=4k-1 构造N=4*p1*p2*…*pn-1≥3*p1*p2*…*pn 所以N＞pi (i=1,2,…,n) N为4k-1形式的素数，即为4k+3的形式，所以假设不成立。 原结论正确，形如4k+3的素数有无穷多个。 28．（1）解：85=1*55+30 55=1*30+25 30=1*25+5 25=5*5 所以(55,85)=5 （2）解：282=1*202+80 202=2*80+42 80=1*42+38 42=1*38+4 38=9*4+2 4=2*2 所以（202,282）=2 29．（1）解：2t+1=1*(2t-1)+2 2t-1=(t-1)*2+1