20--25届全国复赛电磁学部分.doc

20—25全国物理复赛电磁学部分 （20届复赛）一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O(O平行的方向射向a．以l表示b与O(O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值． 一、参考解答 令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知 （1） 因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有 （2） 由式（1）、（2）可得 （3） 代入数据，可得 （4） 若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得（5） （20届复赛）六、(23分)两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：当时，电势；电势为零的点的坐标, 电势为极小值的点的坐标为 （＞2）。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在轴上的位置． 六、参考解答 在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空间各点的电势为负。现已知处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点处，以表示该点电荷的电量。当从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为，当很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值应大于。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为；另一个是位于负轴上离原点距离处的负电荷，电量的大小为，且＞。按题目所给的条件有 （1） （2） 因时，电势为极小值，故任一电量为的正检测电荷位于处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有 （3） 由式（1）、（2）和（3）可解得 （4） （5） （6） 式中为静电力常量。 （21届复赛）五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1＝q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q．空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷、和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强． 1．试根据上述条件，确定假想等效电荷、的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A的电势UA．已知A点到球心O的距离为r，与的夹角为??．如图1所示，S为原空腔内表面所在位置，的位置应位于的延长线上的某点B1处，的位置应位于的延长线上的某点B2处．设A1为S面上的任意一点，根据题意有 (1) (2) 怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中与的关系． 若等效电荷的位置B1使下式成立，即： (3) 即： (4) 则 有 ： (5) 由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷 (6) 由 (3) 式知，等效电荷的位置B1到原球壳中心位置O的距离： (7) 同