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第一轮:导数
导数(2011高考试题汇总) 2011-9-18
重要考点
1.导数的几何意义:斜率。 题型:求切线方程,函数中的参数。
2.若函数在某区间上是增(减)函数,则在此区间上恒成立。题型:由函数的单调性求参数的取值范围。(注意: 分离参数)
3.若是的极值点,则(即函数在点处的切线和轴平行)反之不成立。
4.求最值问题:求函数在开区间上的最值;恒成立;恒成立(构造新函数进行转化);恒成立;使成立;使成立(构造新函数进行转化)。(透过现象,直击本质是解此类问题的关键)
二.典型例题
1.设其中为正实数
(Ⅰ)当时,求的极值点;(是极小值点,是极大值点为上的单调函数,求的取值范围。()
本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.
解:.已知函数.(1)求的单调区间;
(2)若对,,都有,求的取值范围。本题考查导数的运算,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.(1),令得
当时,在和上递增,在上递减;
当时,在和上递减,在上递增
(2) 当时,;所以不可能对,都有
当时有(1)知在上的最大值为,所以对,都有,故对,都有的取值范围。.
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
本题考查导数的运算,导数符号与函数单调之间的关系,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.在上存在单调递增区间,即存在某个子区间 使得.由,在区间上单调递减,则只需即可。由解得,
所以,当时,在上存在单调递增区间.
(2)令,得两根, .
所以在,上单调递减,在上单调递增
当时,有,所以在上的最大值为
又,即
所以在上的最小值为,得,,
从而在上的最大值为.
4.设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
本题考查导数的运算,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.的定义域为
令
当时,故上单调递增,
当时,的两根都小于0,在上,,故上单调递增.
当时,的两根为,
当时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,.
因为,所以
又由(1)知,.于是
若存在,使得则.即.亦即
再由(1)知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得
5.设.
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和
的值.(注:区间的长度为)
.解:(1)已知,
又在处取极值,
则,又在处取最小值-5.
则,
(2)要使单调递减,则
又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b。即有:
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数,且m+n10,所以m=2,n=3或,符合。
6.已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(1)求、的值;
(2)如果当,且时,,求的取值范围。
解:(1),由于直线的斜率为,且过点,
故即 解得,。
(2)由(1)知,所以。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,。而,故
当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)0,可得 h(x)0
从而当x0,且x1时,f(x)-(+)0,即f(x)+.
(ii)设0k1.由于当x(1,)时,(k-1)(x2 +1)+2x0,故 (x)0,而
h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)0,可得h(x)0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时(x)0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)0,可得 h(x)0,与题设矛盾。综合得,k的取值范围为(-,0]
7.已知函数
(1)证明:曲线
(2)若,求的取值范围。
解:(1) ,,又
曲线的切线方程是:,在上式中令,得
所以曲线
(2)由得,(i)时,没有极小值;
(ii)当或时,由得
故。由题设知,当时,不等式无解;
当时,解不等式得
综合(i)(ii)得的取值范围是。
8.设,.
(1)求的单调区间和最小值;
(2)讨论与的大小关系;
(3)求的取值范围,使得<对任意>0成立.
【分析】(1)先求出原函数,再求得,然后利用导数判断函数的单调性(单调区间),并求出最小值;(2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并由单调性判断函数的正负;(3)对任意>0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题.
解:(1)由题设知,∴令0得=1,
当∈(0,1)时,<0,是减函数,故(0,1)是的单调减区间。
当∈(1,+∞)时,>0,是增函数,故(1,+∞)是的单调递增区间,
因此,=1是的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以的最小值为
(2),设,则,
当时
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