单调性汇总.ppt

* 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？ 1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______． 2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____． f(x) = x2 (-∞,0] (0,+∞) 增大 减小 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 一、函数单调性定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ． 2．减函数 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 注意： 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 或f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 二．函数的单调性定义 y o x o y x y o x y o x y o x 在 增函数 在 减函数 在 增函数 在 减函数 在(-∞,+∞)是减函数 在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数 在(-∞,+∞)是增函数 在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数 y o x 例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5] 其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。 例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明： 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则 f(x1)－f（x2）＝（3x1＋2）－ （3x2＋2） ＝3（ x1－x2 ） 由x1x2，得x1－x20 于是f（x1）－f（x2）0 即f（x1）f（x2） 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 －－－取值 －－－作差 －－－变形 －－－定号 －－下结论 例3、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1V2，得V1V20, V2- V1 0 又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. 取值 定号 变形 作差 结论 三．判断函数单调性的方法步骤 1 任取x1，x2∈D，且x1x2； 2 作差f(x1)－f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 思 考？ 1.判断函数f (x)＝－x2＋2x+3 的单调区间，并对其减区间加 以证明。 *