数学与应用数学毕业论文浅析数学分析中的若干矛盾.doc

学 士 学 位 论 文 题 目 浅析数学分析中的若干矛盾 学 生 指导老师 年 级 2006级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 文理学院 哈尔滨师范大学 2010年4月 目 录 摘 要 1 关键词 1 1 常量与变量 1 2 离散与连续 3 3 整体与局部 5 4 一与多 7 5 有限与无限 9 6 曲与直 11 7 积分与微分 13 8 结束语 13 参考文献 13 外文摘要 14  浅析数学分析中的若干矛盾 陈伶俐 摘 要: 恩格斯说：“纯数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系”．即数学是研究“数”和“形”的科学．数学分析中充满着矛盾现象，研究和领会各个矛盾的对立统一关系，对深入掌握数学分析的精髓有着重要作用．本文就数学分析中的几个主要矛盾进行比较与分析，着重阐述常量与变量，离散与连续，整体与局部，有限与无限，一与多，直与曲，微分与积分等矛盾在数学分析中的体现． 关键词: 数学分析 矛盾 对立统一 恩格斯在《反杜林论》中指出：“高等数学的主要基础之一，就是矛盾……”， 列宁在《黑格尔哲学史讲演录一摘要》中指出：“就本来的意义讲，辩证法是研究对象的本质自身中的矛盾．”在数学分析的学习中，是否能深刻认识数学分析中的矛盾现象，能否深入研究各个矛盾中的对立统一关系，就成为领会和掌握数学分析的精髓的关键．数学分析中的矛盾现象是普遍存在的，如常量与变量，有限与无限，离散与连续，微分与积分，一元与多元等等．本文仅就几个主要矛盾予以讨论． 1 常量与变量 变量是运动的，不断变化的量；常量是不变的，静止不动的．因此他们是对立的．由于任何事物都是运动的，因此，静止不动的常量相对的．常量寓于变量之中，变量又通过常量所体现．在一定条件下，常量与变量可相互转化，因此它们又是统一的．正是运用这个重要思想，我们解决了数学分析中的许多重要的基本理论问题． 例如,我们知道定积分是作为一种特殊的无穷和而定义的． 定义1.1 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数．若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 ， 则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作 其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，，分别称为这个定积分的下限和上限． 当积分函数和积分区间给定以后，定积分便以变量的形式出现．研究定积分是从确定定积分的积分区间开始的．当区间变化，积分值随之变化，从而引入了积分上限函数．对此函数可微性的讨论，得到了微积分基本定理，该定理反过来把变量转化为常量，最终得到牛顿——莱布尼兹公式． 定理1.1 若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且 ． 这一划时代的伟大成果正是由常量与变量的对立统一关系导出的． 充分利用常量与变量的辩证思想，常常能是某些数学问题得到很好的解决． 定理1.2 (泰勒（Taylor）中值定理) 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则当在内时，可以表示为的一个多项式与一个余项之和． 其中，这里是与之间的某个值． 在这个定理的证明中，可将函数的次泰勒多项式： 的项换为而得 在上式中把原来的变量视作常量，而把原来的变成变量，则有 由此证得泰勒中值定理． 又如在数列极限定义说明了在一定条件下,变量可以向常量转化. 定义1.2 设是一给定数列，是一个实常数.如果对于任意给定的，可以找到自然数，使得当时，成立 ， 则称数列收敛于（或是是数列的极限），记为 有时也记为 . 在这整个过程来说正数是任意的变化的，是一个变量，但是从过程的每个瞬间来说，正数又是固定的有限的，找到一个常量，从而刻画了数列极限． 2 离散与连续 在数学分析中离散和连续的对立统一关系，最经典的体现是数列与函数，级数与积分的相互转换关系．数列的极限和函数的极限是分别定义的，实现数列极限与函数极限相互转化的桥梁正是海涅定义． 定理2 .1（归结原则） 设在内有定义．存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等． 注1 有时归结原则也可简述为： 对任何有． 注2 若可以找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在． 有关函数极限定理的证明可以借助海涅定理，转换为相应数列的极限定理给予证明，而且由数列的收敛判别法还可相应的得到函数极限存在的判别法． 例1 证明不存在． 证明　对于， 若取则．而 ． 若取则．而 所以，不存在． 例2 计算． 解 (方法１)因为 由归结原则得 故 (方法2)考虑． 对上式取以为底的对数，则有