电动力学习题解答1精选.doc

内部资料请勿外传 第 PAGE 2 页 电动力学习题解答 若干运算公式的证明 （利用公式得） 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式： 解：（1） （2）在（1）中令得： ， 所以 即 2. 设是空间坐标的函数，证明： ， ， 证明： （1） （2） （3） 3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： ； ； ； ， 。 （2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均为常向量。 （1）证明： eq \o\ac(○,1) 可见 eq \o\ac(○,2) 可见 eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,4) ， （2）解： eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,4) 因为，为常向量，所以，， ， 又， eq \o\ac(○,5) 为常向量，，而， 所以 eq \o\ac(○,6) 4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明 证明：（I）设为任意非零常矢量，则 根据矢量分析公式 ， 令其中，，便得 所以 因为是任意非零常向量，所以 （II）设为任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得 （1） （1）式左边为： （2） （1）式右边为： （3） 所以 （4） 因为为任意非零常向量，所以 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ，利用电荷守恒定律证明p的变化率为： 证明：方法（I） 因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故 ， 同理 ， 所以 方法（II） 根据并矢的散度公式得： 6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明： 其中 ， （） ， （） 又 所以，当时， 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为。以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。 由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。 当时，， 。 当时， ， ， 向量式为 当时， 向量式为 （2）当时， 当时， 当时， 8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。 解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 时，由安培环路定理得： 当 时，由环路定理得： 所以 ， 向量式为 当 时， 所以 ， 向量式为 （2）当 时，磁化强度为 所以 在 处，磁化面电流密度为 在 处，磁化面电流密度为 向量式为 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。 证明：在均匀介质中 所以 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力: , 而 ， (1) 同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力： (2) (1)式中： 同理(2)式中： 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和； （2）介质分界面上的自由电荷面密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？) 解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为 取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得： 同理，在极板