聚焦以数表为载体的数列问题　.doc

聚焦以数表为载体的数列问题　　　　　　．．的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格. 　　 　　 第1列　 第2列　　 第3列　　 …　　 第列　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　行　　　 　　　，试用表示的值；　 (2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；　 (3) ① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.　　 ② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.　　 ， 　 所以 . 　　 (2) ，，　 ， 　　 由 ，　 得 . 　 (3) ①先设成等比数列，由，得 ， .　　　，，　　　是一个公比为的等比数列. 　　　，为等比数列，那么一定是等比数列. 　　　，，，，… 由于，　　 因此，对于任意，一定不是等比数列. 　 综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列.　 ② 设和分别为第列和第列的前三项，，　　 则，　　 . 　 若第列的前三项是等比数列，则由，得　 ， 　　 ， . 　 同理，若第列的前三项是等比数列，则.　　　时，.　 所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列. 　 评析　数表中的行和列都可以看作数列．如果已知数表中的某行或某列是等差或等比数列，这时，应沟通数表中各数的纵横联系，利用特殊数列的通项公式、前n项和公式等知识来实现求解．　 　　　　　　正方　 形的25个空格中填入正整数，使得每　 一行，每一列都成等差数列，问必须　 填进标有*号的空格的数是 ．为从上到下第行，从左到右第列的格所填的数，则。由第3行得，由第3列得，所以．，由第3列得　 所以，解得．　　　，　　 。故标有*号的空格应填142．　　　行，其中非1的数字之和是 ．,第行数字和为，于是所有数字和．个1，故非1的数字和为．　　　　　　个正数排列而成的n行n列的一个方阵，符号aij表示位于第i行第j列的正数．．．　　 解析： 依题意，不妨设每列数的公比为，　　　，；　　 又，则，即，解之，得：或q（舍去），从而得：，第一行的公差为，　　 亦即．　　　．记．　　　 ①　　 则 ②　　 由①－②得 ．　　　．　　 评析　数表中的行和列都可以看作数列．如果已知数表中的某行或某列是等差或等比数列，这时，应沟通数表中各数的纵横联系，利用特殊数列的通项公式、前n项和公式等知识来实现求解．　 聚焦五：构造数表，求数列的指定项　　 【例5】．把集合的元素由小到大排列得到数列，　　 例如，，，，，　　　，……，把数列的项依次写成塔形，如右图．　　　．的前几项3，5，6，9，10，12……试图要猜出an是困难的．的生成过程，再从生成过程来发现规律．与数对（t, s）存在着一一对应的关系，这样可以将塔形图替换成（t, s）数表，进而发现它的排序规律，从而找到解决问题的突破口．　　　　　 故数塔的第4行的4个数依次为：　 24＋20＝17，24＋21＝18，24＋22＝20，24＋23＝24．　 第5行的5个数依次为：　　 25＋20＝33，25＋21＝34，25＋22＝36，25＋23＝40，25＋24＝48．　 根据问题1的结果，a100为该数表的第14行的第9个数，故a100＝214＋28＝16640．　 评析 本题的解题思想来源于新教材中研究性学习课题”杨辉三角”的研究方法，即观察、归纳、概括、猜想、发现的方法．　 　　 聚焦六：重组数表，数列的综合题　 【例6】．如图所示，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到（0,1），然后它接着按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动（即（0, 0）→（0, ）→（, 1）→（, 0）→（, 0）→．）　　　秒，粒子运动到点（1, 1）；经过秒，粒子运动到点（2, 2）；经过秒，粒子运动到点（3