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西北工业大学矩阵论课件PPT第二章例题 范数理论
例1 规定 则它是一种向量范数, 对 称为向量2-范数。 注 直接证明第三条公理时要用到Cauchy -Schwarz不等式 第二章 范数理论 §1 向量的范数 则有 或 例2 规定 则它是一种向量范数, 对 称为向量1-范数。 证 (1) 当 时, (2) (3) 例3 规定 则它是一种向量范数, 对 称为向量?-范数。 证 (1) (2) (3) 当 于是 时, 必有分量不为0, 例4 规定 则它是一种向量范数, 对 称为向量 p-范数。 注 证明第三条公理时要用到H?lder不等式 则当 时, 整理得 即 例5 设A是n阶可逆矩阵, 是 上的向量范数 规定 证明 是 证 (1) 则 若 则 于是 (不一定是 p-范数)。 上的向量范数。 若 (否则, 若 两边左乘A-1得 即 矛盾) (3) 例如, 上的向量1-范数, 又取n阶可逆 矩阵 则 这是一种新的向量范数。 取 为 (2) 例6 设A是n阶Hermite正定矩阵, 规定 则 是 称之为椭球范数。 所以存在酉矩阵 U使得 上的向量范数, 证 由于A是Hermite正定矩阵, 于是 由例5知, 是 上的向量范数。 从而 其中 是可逆矩阵。 例 所以向量的1-范数与2-范数等价; 又有 于是向量的2-范数与?-范数等价。 结合诸不等式得 即有 于是向量的2-范数与1-范数等价。 证明向量的1-、2-、?-范数等价。 证 因为 例 当 收敛于向量 而向量序列 是发散的, 不存在。 向量序列 时, 因为 例 规定 则 是 上的矩阵范数, m1-范数。 对于 称之为 证 则 前三条公理必成立, 只证公理(4)。 设 §2 方阵范数 例 规定 对于 则 是 上的矩阵范数, Frobenius范数。 称之为 简称 F-范数。 证 例 规定 则 是 上的矩阵范数, m?-范数。 对于 称之为 证 例 证 则 矩阵 -范数与向量1-范数相容。 设 例 矩阵F-范数与向量2-范数相容。 证 则 设 (利用C-S不等式) 例 -范数与向量1-,2-,∞ -范数均 矩阵 证 相容。 则 设 (利用C-S不等式) 例 解 对于任意 有 求与矩阵 -范数相容的向量范数。 取 例 求 F-, 1-, 解 已知矩阵 ∞-范数。 例 解 判断矩阵1-范数与向量的∞-范数是否相容? 取 则 但是 从而 故矩阵1-范数与向量的∞-范数不相容。 已知 则 例 分析 3 A为Hermite矩阵, 可求得A的特征值为 故 又 故 4 例 试推导由向量范数 导出的矩阵范数 解 已知矩阵S可逆, 例 是由向量范数 矩阵范数。 证 所以 设A可逆, 导出的 证明 因为 例 -范数与F-范数等价; 2) 方阵的 -范数与 3) 方阵的 证明: 1) 方阵的 -范数等价; -范数与F-范数等价。 证 1) 即 或 故方阵的 -范数与F-范数等价;
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