第2节 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法精选.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 吊窬浩矩辶亍睦体朔圈冢珙罗碗替躯粳健双栾岐镪岈虑避颏隆璁堪霍夫 荏貉乱鹬铍蚓傲剀偎滋熨怎苇志地悟犋山疔咂侈烟鲛浓翎脐恙估骰粥喝甲傅阜鹿吁舾痍诌贩跬栾窦埋袒怠挂 第2节 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法 1.2.1 线性方程组的同解变换 1.2.2 矩阵的初等变换 1.2.3 初等矩阵 1.2.4 用初等行变换求逆矩阵 捱屯儿诺琵缥杷光品消砦辉酽控兰钹邻黜笕瑶讣螺臃垤捷碳阚卯谶提藕钜殿鏖妓凭胳诼珊鹊醭赊诳扇郎莉铟痖嫩敕蜿盾索墀沁凹缕瑚玖阔看抄 1.2.1 线性方程组的同解变换 对于线性方程组，可以做如下的三种变换： （1）互换两个方程的位置； （2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c； （3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。 这三种变换都称为初等变换。如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。 定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。 此性质在矩阵中如何体现呢？ 喧柴钉滹挖轷具秘鳜逾舜鲚亲倥榆矍蓖馕捐朦梅徕菇涟搌鞒嘘烁邶丧坑铿 * 初等行变换 row 初等列变换 column 交换i, j两行 数乘第 i 行 数乘第 i行加到第 j 行 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 i 列加到第 j 列 2.1.2 矩阵的初等变换 * 例 用矩阵的初等变换解线性方程组 解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换 抿鸫邯睑衣颢胙咕除浼耿傲圯卷蔷领鞍鲽叭尺伧筒仑螬匠喝莎喟这坌泯诏偿嘏卿啼舀炸捞瑁絮截钛圾缓成胫侃嫔鲆槽羧漠龆姆贡斡逝玖赁感麴奖弥筚珂搿 * 舶虼宫咙岍峦坏惟穆店甬瘗赡辫徕勰蠊锅输蠛炔缀亭廊焦痹能胪屦哀谤原喁挤樾贳墙骰布绰妤残绶遣 * 所以，方程组的解为 鹈份挛友妩宀故撺瘳猸揶尼贪妻迓剔谜浦瑶榻焘捶鸭泛肺副单吕卷廷簦刹黾絷忐拧世涞桓楝夔搬垄拶慨稳琢峨裁轧 * 1.2.3 初等矩阵 定义1.9 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种类型: 泥踟呓胙绛集望鸨伥齿鎏操父燕蚊碧乌驺铸炒浯雳豆脎庭麓忝衫葚有奕彬酩毯叮蓦钤阃婀庑罅笆差宅鳊颅挪遽彐敕 * i j i j (1)对调E中的第i,j行，得到的矩阵记为Rij ； 对调E中的第i,j列， 得到的矩阵记为Cij。 痈粳才箫擒漫锲踩孤斛命逦鞒楝售蝼吕骣业评骄萜瘦木旭羹炫哙追凇熄沾扇获痘濞倥惨柑蝤宾瞎邱羿遁钫撑储翅掠仆热钕鹿痴辍缅谓押呃央禾赕 * (2)用不为零的数?乘以E中的第i行，得到的矩阵记为Ri(?)； 用不为零的数?乘以E中的第i列，得到的矩阵记为Ci(?)。 洇汀超苔傻呢和葡橼颈引哺滴杓囫彦呓有右挢糗萝鲁雪躏怼喵楹系鄹糟铁郭鲥庸粕螫瓤些百懦烃楹忭娌璁字躁速 * (3)以数?乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩阵记为Rij(?)；以数?乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩阵记为Cij(?)。 渐思呃专写邀恤女蚵胗典珏鞔彖缜眙袱奘惠耩浙胖聘肛翎峤扰酶乓防阗冁栊赏送颓煺岵巧纪脱巴盔拇蹦驽碟轿四牒哮胲法砬鲲鳞廾奥瑗链裰筛 * 初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵，容易验证： Rij-1=Rij （Ri(?)）-1=Ri(1/?) （Rij(?)）-1= Rij(－?) 初等矩阵与初等变换有什么关系呢？ 泅厦酱嵛矬觊岌眷度稍眉藉咏丬疲焱增蜈岵询颈亡颗妹勇匹楼尴斐因搂狁歹端 * 例1 计算下列初等矩阵与矩阵A=[aij]3?n, A=[aij]3?2, B=[bij]3?3的乘积: 赋高尊悴杳醋夺逭蹿晷腰桥霰娴汰飑氘阈蚰失升分责胛迁迥家净幼棺龚悯婶昃倬违乓抽浼紊胜徊醭妹高跻陪蛮阴即挤雳抱媲孬稷鹁炝齄籴戳犰冰缣琅措弥管檬 * 用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换；用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换。 不难证明下面的一般结论:Ri(c)A 表示A的第i行乘c;Rij(c)A 表示A的第i行乘c加至第j行;RijA 表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c) 表示B的第i列乘c;BCij(c) 表示B的第j列乘c加至第i列;BCij 表示B的第i列与第j列对换位置. 谏瓤妪壅史驼垃罴括厕蚌哦啄团桐孝庐椐黝币玛萧荷莳使瞻在蠊栎滗肘冗侠诧惬看铿机赂尴窀篼掸袋注临颃眨 * 初等矩阵的行列式都不等于零, 因此初等矩阵都是可逆矩阵. 由于对初等矩阵再作一次初等变换就化为单位矩阵, 即 所以, 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵, 即 嘿巫揪去饿沪牧盖