第7章 离散系统状态空间设计精选.ppt

(3)极值条件 k=0,1,…,N-1 例7.12 设标量离散系统的状态方程为x(k+1)=x(k)+3u(k) k=0,1,2。试求无约束的控制序列u(k)，k=0,1,2。使系统从给定的初态x(0)=2转移到终态x(N)=0，并使性能指标 取最小值。 解：由已知条件得N=3，相应的哈米尔顿函数为 ∴ （常数） 由 ，得 由于 ，故u(k)=-3r一定使函数H(k)取极小值。 由已知条件得 x(1)=x(0)-9r=2-9r x(2)=x(1)-9r=2-18r x(3)=x(2)-9r=2-27r=0 ∴ 得到最优控制序列为 性能指标的极小值为 例7.14 设标量离散系统的状态方程为x(k+1)=2x(k)+2u(k) k=0,1,2。试求无约束的控制序列u(k)，k=0,1,2。使系统从给定的初态x(0)=0转移到终态x(N)，并使性能指标 取最小值。 解：由已知条件得N=3，相应的哈米尔顿函数为 ∴ 由 ，得 ∴ 由 ，得 由于 故 一定使函数H(k)取极小值。 则最优控制序列为 u(0)=-2?(1)=-8 u(1)=-2?(2)=-4 u(2)=-2?(3)=-2 由系统的状态方程x(k+1)=2x(k)+2u(k)，得 x(1)=2x(0)+2 u(0)=-16 x(2)=2x(1)+2u(1)=-40 x(3)=2x(2)+2u(2)=-84 性能指标的极小值 7.6.2 离散动态规划法 一个N步的最优决策（控制）序列具有这样的性质，决策序列对于由初始决策所形成的状态来说都必须构成一个最优决策序列。 若有一个初态为x(0)的N步决策过程，其最优序列为u(0),u(1),…, u(N-1)，那么，对于以状态x(1)为初态的N-1步决策过程来说，决策u(1),u(2),…, u(N-1)必定是最优的。这就是最优性原理。 系统由初始状态x(0)转移到终端状态x(N)的过程如图7.23所示，每一步的输出x(k+1)同输入x(k)有关，也同决策阶段的决策有关。 x(0) x(1) u(0) x(2) x(N-1) u(0) u(N-1) x(N) F F F 图7.23 多阶段决策过程 多阶段决策过程优化问题是：对于一个N步决策过程 x(k+1)=f(k)，k=0,1,…,N-1 选择决策向量序列u(0),u(1),…, u(N-1)，使系统从任意给定的初态x(0)=x0转移终态x(N)，并使N步代价函数(或称性能指标) 为最小。 式中x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，f为n维向量函数，?和L都是连续可微的数量函数。假设初始时刻k=0，终端时刻k=N固定，始端状态固定，即x(0)=x0，终端状态x(N)自由，u(k)无约束，采样周期T=1秒。 这是一个N步决策问题，就是要选择N步最优控制序列u(0),u(1),…, u(N-1)，使系统能够从初态x(0)=x0出发，沿着最优轨线x(1),x(2),…, x(N)一步一步地转移，并能使性能指标最小。即 假设系统已经转移到x(N-1)，需要确定控制u(N-1)，使系统继续转移到终态x(N)，并使该步转移过程中的性能指标为最小，可表示为 设 则 所以，系统性能指标可以表示为 假设系统已经转移到x(N-2)，需要确定控制u(N-2)，使系统继续转移到终态x(N)，并使该步转移过程中的性能指标为最小，可表示为 设 则系统性能指标可以表示为 同理，可得 则系统性能指标表示为 根据上述递推关系，就可以一步一步地将最优控制序列u(0),u(1),…, u(N-1)求出来。 最优性原理的简要证明 假设控制序列u(0),u(1),…,u(N-1)是最优控制序列，s(0)是相应的性能指标的最小值。如果控制序列u(1),u(2),…,u(N-1)对x(1)来说不是最优控制序列，s(1)也不是相应的性能指标的最小值，那么，就必然存在另一个控制序列u’(1),u’(2),…,u’(N-1)为最优控制序列，其相应的性能指标最小值为s’(1)，使得s’(1)s(1)，那么，在s(0)中用s’(1)来代替s(1)时，就会使s(0)变小，这与假设相矛盾，这就说明了最优性原理的正确性。 如果只需要确定N步过程中的后面任意N-k步过程的最优控制序列和相应的性能指标的最小值，即如果以任意第k步的状态x (k)作为初始状态