第七节　正弦定理和余弦定理.pptx

第七节　正弦定理和余弦定理总纲目录教材研读1.正弦定理和余弦定理2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况3.三角形面积考点突破考点一　四种命题的相互关系及真假判断考点二　充分条件、必要条件的判断考点三　充要条件的应用教材研读1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容①??=?=??=2R(R是△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bccos A;b2=②?a2+c2-2accos B?;c2=③?a2+b2-2abcos C?变形形式(1)a=2Rsin A,b=④　2Rsin B　,c=⑤　2Rsin C　;(2)sin A=?,sin B=⑥　?　,sin C=⑦?　;(3)a∶b∶c=⑧　sin A∶sin B∶sin C　;(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,cos A=⑨???;cos B=⑩???;cos C=????应用类型(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形????关系式a=bsin Absin Aaba≥bab解的个数?　一解?　两解?　一解?　一解　上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当a≤b时无解.3.三角形面积设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=?ah(h为BC边上的高).(2)S=?absin C=???acsin B?=?bcsin A.? 1.在△ABC中,a=3,b=5,sin A=?,则sin B=(　　)A.??B.??C.??D.1答案?B　根据?=?,有?=?,得sin B=?.故选B.B答案?A　由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2?.2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于?(　　)A.2??B.12　????C.2??D.28A答案?Abcos C+ccos B=b·?+c·?=?+?=?=a.3.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为?(　　)A.a?B.b?C.c?D.?bA答案C　易知cos A=?=?=?,又A∈(0,π),∴A=?.故选C.4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=?,b=3,c=2,则A=?(????　)A.??B.??C.??D.? C答案???? 解析　由正弦定理得bsin A=asin B,所以2bsin A=2asin B=?a,即sin B=?,又B非钝角,所以B=?.5.在非钝角△ABC中,2bsin A=?a,则B=?.答案　4? 解析　∵cos C=?,∴sin C=?.∴S△ABC=?absin C=?×3?×2?×?=4?.6.在△ABC中,a=3?,b=2?,cos C=?,则△ABC的面积为?.考点突破典例1　(1)(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=?,则C=?(　　)A.??B.??C.??D.?(2)(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=?,c=3,则A=?.(3)(2017课标全国Ⅱ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=?.考点一　利用正、余弦定理解三角形答案　(1)B　(2)75°　(3)60°解析　(1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin A·sin C-sin A·cos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C·(sin A+cos A)=0,因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=?,由正弦定理得sin C=?=?=?,又0C?,所以C=?.故选B.(2)由正弦定理得?=?,∴sin B=?,又∵cb,∴B=45°,∴A=75°.(3)解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin C·cos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·?=a·?+c·?,即b·?=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=?,又0°B180°,所以B=60°.方法技巧应用正弦、余弦定理的解题技巧(