第三节　导数与函数的极值、最值.pptx

第三节　导数与函数的极值、最值;总纲目录;1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值①　都小????, f (a)=0,而且在点x=a附近的左侧②????f (x)0????,右侧 ③????f (x)0????,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值;2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑨　极值????; (ii)将函数y=f(x)的各极值与⑩　端点处????的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. ? ;1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f (x)的图象如图所示,则函数f(x)?(????　) ? A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点;答案????C　设f (x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x2、x3、x4. 当xx1时, f (x)0, f(x)为增函数, 当x1xx2时, f (x)0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.;2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=?(　　) A.-4　????B.-2　????C.4　????D.2;3.函数y=xex的最小值是?(　　) A.-1　????B.-e　　C.-?　????D.不存在;4.函数f(x)=ex+ln x在(0,1]上的最大值为　　　????.;5.函数f(x)=x-aln x(a0)的极小值为　　　????.;命题方向;命题方向一　根据函数的图象判断极值的情况 典例1　设函数f(x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y=(1-x)f (x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是?(　　) ? A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2);答案????D;命题方向二　求函数的极值 典例2　已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)当a=?时,求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.;???f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)函数的定义域为(0,+∞), f (x)=?-a=?(x0), 当a≤0时, f (x)0在(0,+∞)上恒成立, 即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a0,x∈?时, f (x)0;x∈?时, f (x)0,故函数在x=?处有极 大值. 综上所述,当a≤0时,函数在定义域上无极值点,当a0时,函数在x=?处 有一个极大值点.;命题方向三　已知函数的极值求参数 典例3　(1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=　　　????. (2)若函数f(x)=?-?x2+x+1在区间?上有极值点,则实数a的取值范围 是　　　????.;解析　(1)由题意得f (x)=3x2+6ax+b, 则? 解得?或? 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7. (2)若函数f(x)在区间?上无极值,则当x∈?时, f (x)=x2-ax+1≥0 恒成立或当x∈?时, f (x)=x2-ax+1≤0恒成立. 当x∈?时, f (x)=x2-ax+1≥0恒成立,;即a≤x+?恒成立,令y=x+?,当x∈?时,y=x+?的值域为?,所以a ≤ymin,所以a≤2; 当x∈?时, f (x)=x2-ax+1≤0恒成立, 即a≥x+?恒成立, 所以a≥ymax,所以a≥?. 因此要使函数f(x)在?上有极值点,实数a的取值范围是?.;方法技巧 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数f (x); (3)解方程f (x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f (x)在f (x)=0的根x0左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. [提醒]若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值