第三节　平面向量的数量积及应用举例.pptx

第三节　平面向量的数量积及应用举例 总纲目录 教材研读 1.平面向量的数量积 考点突破 2.向量的数量积的性质 3.向量的数量积的运算律 考点二　平面向量数量积的应用 考点一　平面向量数量积的运算 考点三　平面向量与三角函数的综合问题 4.平面向量的数量积的坐标表示 1.平面向量的数量积 (1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作 =a, =b,则∠ AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 当①    θ=90°    时,a与b垂直,记作a⊥b; 当②    θ=0°    时,a与b同向; 当③    θ=180°    时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量|a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=④　|a|·|b|·cos θ    . 教材研读 (3)规定0·a=0. (4)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a与b的夹角,则|a|cos θ叫做a在b的方向上的投影,|b|cos θ叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量. (5)a·b的几何意义 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔⑤    a·b=0    . (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|. 当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2. (4)cos θ=⑥         . (5)|a·b|≤|a|·|b|. 3.向量的数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=⑦    x1x2+y1y2    . (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,|a|=⑧         . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=⑨         ,这就是平面内 两点间的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则a⊥b⇔⑩    x1x2+y1y2=0    .   1.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,则a·b为 (　　) A.10 　    B.-10 　    C.10　    D.-10 D 2.已知|a|=2,|b|=6,a·b=-6 ,则a与b的夹角θ为 (　　) A. 　    B. 　     C. 　    D.  D 3.设a=(5,-7),b=(-6,t),若a·b=-2,则t的值为 (　　) A.-4　    B.4　    C. 　    D.-  A 答案    A　由a·b=-2得,5×(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所以t=-4,故选A. 4.在边长为1的等边△ABC中,设 =a, =b, =c,则a·b+b·c+c·a= (    　) A.- 　    B.0　    C. 　    D.3 A 5.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　    　    . 2 答案　2 解析　∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2. 6.已知平面向量a,b的夹角为 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=　　　    . 答案      考点一　平面向量数量积的运算 考点突破 答案　(1)C　(2)B  ·( + )=2 · =2(-1-x,-y)·  =2  =2 . 因此,当x=- ,y= 时, ·( + )取得最小值,为2× =- ,故选B. 方法技巧 向量数量积的两种运算方法 方法 运用提示 适用题型 定 义 法 当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·|b|cos θ 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题 坐 标 法 当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题 1-1    (2017陕西西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在 方向上的投影是 (　　) A.-3 　    B.- 　     C.3 　    D.  A 1-2　已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,