第九节　圆锥曲线的综合问题.pptx

第九节　圆锥曲线的综合问题总纲目录考点突破考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题考点二　圆锥曲线中的定义、定值问题考点三　圆锥曲线中的探索性问题考点突破典例1?(2017山西太原模拟)已知椭圆M:?+?=1(a0)的一个焦点为F(-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题解析　(1)由题意知c=1,b2=3,所以a2=4,所以椭圆M的方程为?+?=1,易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得?消去y,得7x2+8x-8=0,Δ=2880,设C(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=-?,x1x2=-?,所以|CD|=?|x1-x2|=?.(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时△ABD与△ABC的面积相等,|S1-S2|=0;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=144k2+1440,故x1+x2=-?,x1x2=?,此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=?,因为k≠0,所以|S1-S2|=?≤?=?=??,所以|S1-S2|的最大值为?.联立方程,得? 方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.1-1???(2017云南第一次统一检测)已知椭圆C:?+?=1(ab0)的左、右顶点分别为A、B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为-?.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求?·?+?·?的取值范围.解析　(1)由题意可知A(-4,0),B(4,0).设T(x,y),则直线TA的斜率为k1=?,直线TB的斜率为k2=?.于是由k1k2=-?,得?·?=-?,整理得?+?=1.(2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),由?消去y,得(4k2+3)x2+16kx-32=0,由根与系数的关系知x1+x2=-?,x1x2=?,从而,?·?+?·?=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=?=-20+?,因为k2≥0,所以-20?·?+?·?≤-?,当直线PQ的斜率不存在时,?·?+?·?的值为-20.综上所述,?·?+?·?的取值范围为?.典例2?(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:?+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足?=??.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且?·?=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.考点二　圆锥曲线中的定义、定值问题解析　(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),?=(x-x0,y),?=(0,y0).由?=??得x0=x,y0=?y.因为M(x0,y0)在C上,所以?+?=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则?=(-3,t),?=(-1-m,-n),?·?=3+3m-tn,?=(m,n),?=(-3-m,t-n).由?·?=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以?·?=0,即?⊥?.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.方法技巧1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2-1?(2017陕西宝鸡质量检测(一))已知椭圆C:?+?=1(ab0)经过(1,1)与?两点.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点