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例 用分枝定界法求解 上述分枝过程可用下图表示： 小结 分配问题与匈牙利法 指派问题的数学模型的标准形式： 分配问题与匈牙利法 指派问题的数学模型为： 分配问题与匈牙利法 克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。 分配问题与匈牙利法 指派问题的数学模型的标准形式： 分配问题与匈牙利法 指派问题的数学模型为： 分配问题与匈牙利法 克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。 分配问题与匈牙利法 指派问题的求解步骤： 分配问题与匈牙利法 找独立0元素，常用的步骤为： 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 4) 变换矩阵(bij)以增加0元素 在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。 分配问题与匈牙利法 例 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 例 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 分配问题与匈牙利法 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 分配问题与匈牙利法 3）作最少的直线覆盖所有0元素 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 例 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。 分配问题与匈牙利法 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。 分配问题与匈牙利法 分配问题与匈牙利法 非标准型的指派问题： 1. 最大化指派问题 分配问题与匈牙利法 解: M＝95，令 分配问题与匈牙利法 2. 不平衡的指派问题 分配问题与匈牙利法 3. 一个人可做几件事的指派问题 4. 某事一定不能由某人做的指派问题 解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。 2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为： 分配问题与匈牙利法 用匈牙利法求出最优指派方案为： 11 5 7 6 4 戊 6 8 9 11 E 9 6 3 7 丁 6 4 5 8 丙 11 7 12 9 乙 8 9 5 7 甲 D C B A 任务 人员 -1 -2 ◎ ? ◎ ◎ ◎ ? ? 2）试指派（找独立0元素） 独立0元素的个数l＝45，故画直线调整矩阵。 ◎ ? ◎ ◎ ◎ ? ? √ √ √ 选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变。 ◎ ? ◎ ? ◎ ? ◎ ? √ √ √ √ √ √ √ l =m=4 n=5 选择直线外最小元素为1，直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变，得到新的系数矩阵。 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=5+7+6+6+4=28 注：此问题有多个最优解 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=7+9+4+3+5=28 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=8+9+4+3+4=28 练习1： 练习2： 48 21 答案： 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。 当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。 处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。 例 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。 用匈牙利法求解C’，最优解为： 即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357 当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如： 当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如 若某人可做几件事，则将