微分中值定理与导数的应用 微分中值定理.ppt

中值定理与导数的应用 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、小结 【思考题】 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、小结 思考题 1.【费玛引理】 亦有 由极限的保号性及可导的充要条件立得 所以 ［证完］ 【证】 则 【几何意义】 水平切线 若曲线在取得极大值（或极小值）的点处具有切线，则该切线必是水平的. 【定义】 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点） ［例如］ 2. 【罗尔（Rolle）定理】 如果 f (x)满足 （1）在闭区间[a , b]上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； （3）f (a) = f (b) 则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 f ?(ξ)=0 点击图片任意处播放\暂停 【物理解释】 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 【几何解释】 【证】 即 有 由费玛引理立得 ［证完］ 【注意】(1)罗尔定理的条件是充分的，不必要. ［反例1］ (2)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能成立，也可能不成立. 故若不满足第（2）条： 有不可导点 无水平切线 ［反例2］ 不满足第（1）条： 不满足第（3）条： 有不连续点 两端点值不相等 ［反例3］ 无水平切线 无水平切线 【补例1】 【证】 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 【分析】 （1）有— 存在性 （2）仅一个—唯一性 【补例2】 设函数f (x)=(x?1)(x?2)(x?3), 试判断方程f?x??? 【解】因为 f(1)=f(2)=f(3), 且f (x)在[1, 2]上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, ??1?(1, 2),使 f?(?1???; 同理, ??2?(?, ?), 使 f(?2? ? ?; 又因f(x? ? ?是二次方程, 至多两个实根, 故f(x? ? ?有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内. (1)修改:f (x)=(x?1)(x?2)(x?3)(x?4), 结论如何? (2)修改: 不解方程, 问 (x?2)(x?3)+(x?1)(x?3) +(x?1)(x?2)=0 有几个实根, 分别在何区间? 有几个实根, 分别在何区间? 【注意】 如果 f (x)满足 （1）在闭区间[a , b]上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； 【拉氏定理】 则 至少存在ξ∈(a , b)，使得f(b) －f(a)= f ?(ξ)(b－a) 【几何解释】 【分析】 弦AB方程为 Flash动画演示 作辅助函数 拉格朗日中值公式 【注意】拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 【证】 （要验证） 在区间 上 显有 △y≈f′(x0) ·△x 增量△y的近似表达式 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 【推论】 【证】 由假定 ［证完］ 在 上应用拉氏定理得 由 的任意性立知 【补例3】 【证明】 推论的应用——证明函数为常函数 拉氏定理应用——证明不等式 【例3】 【分析】 据拉氏定理 由 的范围，确定 的范围 从而得到 的范围，变形可 得所求不等式 . 【证】 由上式得 例3变形为： 【注】 教材P132习题第9、10、11题均属此类型. （要验证） 【柯西（Cauchy）中值定理】 如果 f (x)及F(x)满足 （1）在闭区间[a , b]上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； 则 至少存在ξ∈(a , b)，使得 （3）对任一x∈(a , b),F ?(x)≠0 【几何解释】 【证】 作辅助函数 切线斜率 弦AB斜率 曲线 即 （要验证） ［证完］ 【注意】 即为拉氏中值定理 【例4】 【证】 【分析】 结论可变形为 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 2.证明等式与不等式（注意其步骤） 【应用】 1.证明方程根的存在性、唯一性 3.证明函数为常数函数 * *