模块复习精要.doc

一、知识体系全览 ——理清知识脉略　主干知识一网尽览 二、高频考点聚焦 ——锁定备考范围　高考题型全盘突破 利用正、余弦定理解斜三角形 1．对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦公式，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等． 2．解题时，要弄清三角形三边、三角中已知什么、求什么，分清题目条件与结论，并结合三角形的有关性质，如大边对大角，内角和定理等，注意数形结合，正确地求解三角形，防止出现漏解或增根的情况． [例1]　(2012·全国新课标高考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A. (1)求A； (2)若a＝2，ABC的面积为，求b，c. [解]　(1)由c＝asin C－c·cos A及正弦定理得 ·sin A·sin C－cos A·sin C－sin C＝0. 由于sin C≠0，所以sin(A－)＝. 又0Aπ，则－＜A－＜，故A－＝， 所以A＝. (2)由正弦定理可得ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.而由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 则(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝16而b＋c＞0故b＋c＝4， b，c是方程x2－4x＋4＝0的两根，解得b＝c＝2. 1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知·＝9，sin B＝cos Asin C，(1)求边AC的长度；(2)若BC＝4，求角B的正弦值． 解：(1)由·＝9得，cbcos A＝9. 又sin B＝cos A·sin C， cos A·c＝b代入cbcos A＝9得b＝3.即|AC|＝9 (2)cbcos A＝9， cos A＝＝，把a＝4，b＝3代入得c＝5， c2＝b2＋a2. sin B＝＝. 正、余弦定理的实际应用 1．正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般． 2．解决这类题目，一要掌握仰角、俯角和方位角等常用术语；二要通过审题把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；三要利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解． [例2]　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． [解]　(1)法一：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向． 设小艇与轮船在C处相遇(如图)． 在RtOAC中，OC＝20cos 30°＝10，AC＝20sin 30°＝10. 又AC＝30t，OC＝vt， 此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝30， 即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． 法二：设相遇时小艇的航行距离为s海里， 则s＝ ＝ ＝ . 故当t＝时，s最小值＝10，v＝＝30. 即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2)设小艇与轮船在B处相遇． 由题意可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 化简得v2＝－＋900 ＝4002＋675， 由于0＜t≤， 即≥2， 所以当＝2时， v取得最小值10， 即小艇航行速度的最小值为10海里/小时． 2．如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是AMB＝30°，ANB＝45°，APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB. 解：设AB＝x，AB垂直于地面， ABM，ABN，ABP均为直角三角形． BM＝＝x，BN＝＝x. BP＝＝x. 在MNB中，由余弦定理知 BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cosMNB， 在PNB中，由余弦定理知 BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cosPNB， 又MNB与PNB互补，MN＝NP＝500， 3x2＝250 000＋x2－2×500x·cosMNB， x2＝250 000＋x2－2×500x·cosPNB.② ①＋，得x2＝500 000＋2x2， x＝250或x＝－250(舍去)． 所以塔高为250 m. 等差数列与等比数列的基本运算 1．数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n