正弦定理和余弦定理的应用zhonggao.ppt

结束放映 返回导航页 高三数学 刘建华 正弦定理和余弦定理的应用 明确考纲 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 明确考情 高考的命题以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 1．分清解三角形中的“四个角” 考点 ? 大整合 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)． (3)方向角 相对于某一正方向的角(如图③) 　　①北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． 　　②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. 　　③其他方向角类似． 例1：郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． 考向大突破一：测量距离 解析：　(1)在△ABC中，由余弦定理得 在△ABD中，由余弦定理得 由∠C＝∠D得cos C＝cos D， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： 易知S△ABD＝ AD·BDsin D，S△ABC＝ AC·BCsin C， 因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABDS△ABC. 故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低． 求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 变式训练1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长． 解析：　在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB＝200 m. 即A，B两点间的距离为200 m. 例2某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°， 考向大突破二：测量高度 在A地听到弹射声音的时间比B地晚 秒． 在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°， 求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中 的传播速度为340米/秒) 100 60° 30° 求解高度问题应注意 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 　　总结提升．掌握解三角形应用题的一般步骤 变式训练2.如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________． 解析：　在三角形BCD中， 由正弦定理得 在直角三角形ABC中， AB＝BCtan 60°＝ 答案： 例3：如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度；　(2)求sin α的值． 考向大突破三：测量角度 解析：　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BAC＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为 ＝14海里/小时． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠B