高考数学解答题专题--函数与导数-精品.docVIP

高考数学解答题专题--函数与导数 2.（辽宁卷22）．（本小题满分14分） 设函数． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； （Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由． ． 2分 故当时，， 时， 所以在单调递增，在单调递减． 4分 由此知在的极大值为，没有极小值． 6分 （Ⅱ）（ⅰ）当时， 由于， 故关于的不等式的解集为． 10分 （ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有 ． 12分 又时，． 且． 取整数满足，，且， 则， 即当时，关于的不等式的解集不是． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 14分 1.已知函数 （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。 1解：（1） 令 当是增函数 当是减函数 ∴ （2）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数 又当时，所以的图象在上有公共点，等价于 解得 （ii）当时，上是增函数， ∴ 所以原问题等价于 又，∴无解 2.已知函数, （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）当0时，若存在x使得成立，求的取值范围. 2解：（Ⅰ）当时函数的定义域为； 当时函数的定义域为 （Ⅱ） 令时，得即， ①当时，时，当时，， 故当 时，函数的递增区间为，递减区间为 ②当时，，所以， 故当时，在上单调递增． ③当时，若，;若，， 故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为． （Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为 若存在使得成立，只须， 即 4.已知函数的图像关于原点成中心对称 ，设函数． (1)求的单调区间; (2)已知对任意恒成立．求实数的取值范围(其中是自然对数的底数)．解: (1) , 令,得．列表如下: (0,1) - - + 单调减 单调减 单调增 所以的单调增区间为,单调减区间为和(2)在两边取对数,得．而．所以 由(1)知当时,．所以．，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）若,试利用（II）求证：n3时，恒有。 5解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增． （2） ①由（Ⅰ）得，当时，,函数无极值点． ②当时，有两个不同解， 时，，, 此时 ，随在定义域上的变化情况如下表： 减 极小值 增 由此表可知：时，有惟一极小值点， ii） 当时，01 此时，，随的变化情况如下表： 增 极大值 减 极小值 增 由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：当时，有惟一最小值点； 当时，有一个极大值点和一个极小值点 （3）由（2）可知当时，函数，此时有惟一极小值点 且 令函数 6.已知函数 求在处的切线方程 若的一个极值点到直线的距离为1，求的值； 求方程的根的个数. 6解：（1） 且 故在点处的切线方程为： （2）由得， 故仅有一个极小值点，根据题意得： 或 （3）令 当时， 当时， 因此，在时，单调递减， 在时，单调递增. 又为偶函数，当时，极小值为 当时，， 当时， 当时，， 当时， 故的根的情况为： 当时，即时，原方程有2个根； 当时，即时，原方程有3个根； 当时，即时，原方程有4个根