必威体育精装版易拉罐形状和尺寸的最优设计.ppt

易拉罐形状和尺寸的最优设计; 摘要 ; 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 圆台面积 　　　用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。 　　　结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 关键词：易拉罐 最优设计 ; 一、问题的提出;二、基本假设;三．模型的假设与求解;问题二 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： ?在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体； ?假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍； ?体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。 2. 符号说明： h：易拉罐的高； 　　r：易拉罐的上下底半径； 　　d：易拉罐金属板的厚度； 　　V：易拉罐的体积； 　　D：易拉罐上下底直径。;　　3．问题分析与模型 　　　在本问题中，易拉罐的最优设计着眼于每个易拉罐用料最少。因此需要考虑易拉罐的形状、尺寸和厚度，已假设易拉罐顶部厚度是侧面厚度的3倍。 因此一个易拉罐所需材料为： 　　　侧面的材料+底面的材料+顶部的材料 即 假设易拉罐的体积V一定 则所需材料为 ; 模型求解，用微积分方法 令 ，解得 。 讨论当 时， ； 当 时， ； 因此 是 的极小值，而 没有其它极值点， 故 是 的最小值点。 ; 此时，易拉罐的直径 易拉罐的高 4.结果分析 　　 上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的355毫升的可口可乐???拉罐高104，直径65，（比例2：1.06），其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。 ; 问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚度是其他部分厚度的3倍”。这是由实测数据得到，并认为是易拉罐开口原理（即开口边缘切口，便于拉开），要求顶盖有一定的厚度，现去除此假设，做一般地研究。 1.补充假设： ?假设易拉罐是一个正圆柱体； ?假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同（如图2）。 ;　　　　　 2.符号说明： r：易拉罐的半径； h：易拉罐的高； v：易拉罐内体积（容积）； sv：易拉罐所用材料的体积； b：易拉罐除顶盖外的厚度； ：顶盖厚度参数，即顶盖厚度 。 3.问题分析与模型 　　　由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。 　　　易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料 ; 将上式化简，有 作简化，因为 ，则 很小，所以可将带 的项忽略。 有 记 （v是已知的，即罐容积一定）。 得数学模型 ; 4.模型求解 由约束条件 ，得 ，代入目标函数 令 得 又因为 所以 为最小值点。 又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。 ; 又由于 则由对问题二的前一解的结论， 得 ， 结论 ：