Mathematica与量子力学.ppt

计算物理 Mathematica与量子力学 中心力场中的粒子运动(1/5) 中心力场中的粒子运动(2/5) 中心力场中的粒子运动(3/5) 中心力场中的粒子运动(4/5) 中心力场中的粒子运动(5/5) 薛定谔方程的本征能量(1/5) 薛定谔方程的本征能量(2/5) 薛定谔方程的本征能量(3/5) 薛定谔方程的本征能量(4/5) 薛定谔方程的本征能量(5/5) 薛定谔方程的束缚态(1/3) 薛定谔方程的束缚态(2/3) 薛定谔方程的束缚态(3/3) 龙格-库塔方法(1/10) 龙格-库塔方法(2/10) 龙格-库塔方法(3/10) 龙格-库塔方法(4/10) 龙格-库塔方法(5/10) 龙格-库塔方法(6/10) 龙格-库塔方法(7/10) 龙格-库塔方法(8/10) 龙格-库塔方法(9/10) 龙格-库塔方法(10/10) 作业 薛定谔方程的本征能量(6/x) 薛定谔方程的本征能量(7/5) 薛定谔方程的本征能量(8/5) 薛定谔方程的本征能量(9/5) * * 3/lesson/ComputationalPhysics Mathematica与量子力学 中心力场中的粒子运动 薛定谔方程的本征能量 薛定谔方程的束缚态 龙格-库塔方法 √ 薛定谔方程 球坐标下分离变量：径向 r 和角向 (q, j) 径向方程和角向方程 径向方程的解：由势能函数的具体形式决定 角向方程的解：球谐函数 √ 类氢原子：电子在原子核的库仑场中运动 势能函数 径向波函数 R(r) ? 超几何函数1F1 能量 利用Mathematica中已有的特殊函数定义 √ Mathematica中的类氢原子 能量 √ 径向波函数 Rnl(r) ? 径向概率密度 Wnl(r) = Rnl2(r) r2 Hypergeometric1F1[a, b, z] √ 球谐函数 Ylm(q,j) ? 角向概率密度 Wlm(q,j) = |Ylm(q,j)|2 SphericalHarmonicY[l, m, q, j] √ 变分法 选取一组相互正交的试探基函数，确定可调的参数 l 求哈密顿量的矩阵元 对角化哈密顿矩阵/解久期方程?以 l 为变量的本征能量 求使 E(l) 取最小值的参数 l ，回代到 E(l) ?本征能量 在前面步骤的计算中，l 没有具体数值，需要进行符号运算：Mathematica √ 库仑场(三维中心势场) 径向方程 仅考虑径向的激发态( l = 0)，无量纲化 氢原子的径向波函数 √ 试探波函数：Rn0(r ) 且 e -r /(2n) ? e -l r 试探波函数不相正交，若同时使用多个，要先正交化 试探波函数用于库仑场：自洽检查 n = 1： n = 2： √ 线性势场(三维中心势场) 径向方程 仅考虑径向的激发态( l = 0)，无量纲化 试探波函数：库仑场中的试探波函数 线性势场中的基态( n = 1, 真解 E1 = 2.33811，一个基) √ 线性势场中的低激发态(两个基) 真解 E1 = 2.33811， E2 = 4.08795 近似解 E1 = 2.35344， E2 = 4.64278 n 个基的近似解 n = 3：E1 = 2.35425， E2 = 4.26927 n = 4：E1 = 2.34209， E2 = 4.15494 n = 5：E1 = 2.33829， E2 = 4.12392 n = 6：E1 = 2.33820， E2 = 4.09148 n = 7：E1 = 2.33817， E2 = 4.09021 n = 8：E1 = 2.33815， E2 = 4.08960 n = 9：E1 = 2.33811， E2 = 4.08796 √ 库仑场 径向方程，无角向的激发( l = 0)，无量纲化 求解 √ 线性势场 径向方程，无角向的激发( l = 0)，无量纲化 求解 √ 谐振场 径向方程，无角向的激发( l = 0)，无量纲化 求解 √ 一阶常微分方程初值问题 四阶精度的龙格-库塔公式 √ 例： 初始化： 计算( i = 0 ) √ 计算( i = 1 ) 解析解 √ 一阶常微分方程组初值问题 四阶精度的龙格-库塔公式(矩阵化) √ 例： 初始化： 计算( i = 0 ) √ 解析解 √ 高阶常微分方程初值问题 四阶精度的龙格-库塔公式 一阶化 √ 方程组化 例： 一阶方程组化 计算( i = 0 ) √ 解析解 √ Mathematics中的龙格-库塔方法 √ 无 谐振子场(一维) 薛定谔方程 无量纲化 波函数 √ 试探波函数 试探波函数用于谐振子场：自洽检查 n = 1： n = 2： √ 非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程) 定态方程 无量纲化 试探波函数：谐振子场中的