一元函数导数与微分续.doc

3.4 导数应用 3.4.1 中值定理 在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：设有连续函数，与是它定义区间内的两点()，假定该函数在处处可导，也就是在内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，差商就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点处成为曲线的切线，而曲线的斜率为,由于切线与割线是平行的，因此成立. 图3-4 一. 罗尔定理 罗尔定理：如果函数满足：在闭区间上连续；在开区间内可导 (其中不等于) ；在区间端点处的函数值相等，即,那么在区间内至少存在一点，使得. 证﹡ 在上连续，故在上必能得最大值和最小值，此时,有二种情况： 当时，即在上得最大值和最小值相等，从而知，此时为常数,即，可得＝0，因此，可知为内任一点，都有.当时,此时和之中，必有一个不等于或，不妨设（对同理证明），这时必然在内存在一点，使得,即在点得最大值.下面来证明： : 首先有已知可知是存在的，由定义知： = (1) 因为为最大值，对于任意的有 即 当时，有0 当时，有0。 又因为（1）的极限存在，知（1）极限的左、右极限都存在，且都等于，即，然而，又有和 可得. 注1:(1)定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要. (2)罗尔定理中的点不一定唯一. （3）定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴. 图3-5 二. 拉格朗日定理 拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。 证 上式又可写为 作一个辅助函数： 显然，在上连续，在上可导，且 可得， 所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得 。 又 =0，可得. 注2: (1) 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广. (2) 定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成： .. （3） 设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 . （4）几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线. 推论：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数. 三. 柯西定理 柯西中值定理：如果函数在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立. 证 本定理可以仿照拉格朗日定理构造辅助函数进行证明. 注3: (1) 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉格朗日中值定理； (2) 几何意义：若用 （）表示曲线，则其几何意义同前一个.若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明在内至少有一点，使得。若，证明. 例1 证明:（）. 证 令，，. 由推论知=常数！再由，故. 例2 证明: 若方程有一个正根，方程必有一个小于的正根. 证 令，在闭区间上满足罗尔定理的三个条件，故,, 可得,上式表明（） 即为方程的根. 例3 证明方程在0与1之间至少有一个实根. 证 不难发现方程左端是函数的导数：，函数在上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点，使，即，也就是：方程在0与1之间至少有一个实根. 3.4.2 洛必达法则 如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那末极限可能存在、也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或. 定理3.4 若(1) ,在的空心邻域内可导且，其中； (2) ； (3) ＝， 则 ． 证﹡ 补充定义＝＝0，则当时，用柯西中值定理 ＝＝，. 当时，，故 定理3.5 若(1) ，在内可导且，其中； (2) ； (3) ， 则 ＝. 洛必达(LHospital)法则: 当（或）时，函数都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在,则：.这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的洛必达(LHospital)法则. 一. 直接运用洛必达(LHospital)法则 例4 求. 解 容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。. 例5 求. 解 此题为未定式中的型求解问题，利用洛必达法则来求解; . 例6