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新北市102學年度中小學科學展覽會 作品說明書 科　　別：數學科 組 別：國中組 作品名稱：數字夾心餅 關 鍵 詞：擬對稱性、生成數列、非同構的組數問題 編 號： 摘要 本作品主要在研究一種梯形，梯形裡含有許多的菱形，菱形的四個角均有數字、、、如下圖 其中四個角的數字需滿足 我們想要把這些菱形排列成:上下底都帶有1、第一列有w個1、列數有n層的梯形？例如下圖是第一列有14個1，列數7層的梯形 我們用了兩種不同的構造方法，並證明出兩者生成數列，也判斷出構造的方法比較方便的通則，發現一種方法來判斷哪些數列依序循環填入是否可以構造圖形的猜測。 本研究針對此一數學結構，討論退化關係、對應關係、週期關係、分式多項式結構、擬對稱性關係。並延伸倍數問題，研究層結構中各行或各列連續3個數之間的倍數關係，與梯形結構第2列的關係，進而發現數列轉換與是否同構的判斷準則。 同時，考慮層結構，本研究透過第2列連續個自然數和的不變量、各行的數字觀察、相鄰數字的互質與倍數關係討論梯形結構的非同構組數問題。我們發現給定層的非同構組數的上下界。 壹、前言 一、題目來源 2012年8月2日，科學教育館辦理科學展覽教師研習。授課教授給一題目。 題目一 圖一 請觀察這個結構。 當時，授課教授只暗示，圖一由許多小菱形所構成，並且遵循下列的規則： 一、菱形的四個角均有自然數所構成數字、、、，如圖二。 二、菱形的四個角的數字需滿足 (1) ， 如圖三的黃色區域。2×5=3×3+1；4×4=5×3+1；5×2=3×3+1；5×1=2×2+1 三、把這些菱形排列成:上下底都帶有1、第一列有w個1、列數有n層的梯形。 圖二 圖三 去年，再沒有得到指導老師暗示，我先發現等式(1)的規律，再以「貼磁磚的工人」如圖四(以下簡稱前作品）發表於新北市科學展覽國小數學科比賽。 前作品的重要發現有 一、存在性：針對層結構，至少找到一種鋪滿的方式。 二、思考模式：填入第2列方式可更改為從第1行填入數字模式構造數學結構。 三、倍數問題：在構造好的梯形中，不考慮上端的兩旁，斜向的連續三個數字，兩旁數字的和是中間數字的倍數。 四、互質問題: 在構造好的梯形中，任意斜向的連續二個數字互質。 五、發現擬對稱性。 圖四 二、數字夾心餅 最近，我們發現圖一的第一列與最後一列都是數字1，其他列的數字都依照通則三的規定填入自然數，因此本作品稱為【數字夾心餅】，簡稱「本研究」。 本研究發現圖一的數學結構可以適用於下列三種情況的應用： 一、手機基地台的設置：讓最少的基地台去規劃電波的影響範圍(如附錄一)。 二、雲端計算：傳統的雲端計算是透過高速光纖將資料送到主機運算與儲存。高速的主機還是需要有一個區域當作指標（Index），這對於資料的存取需要使用資訊資源。透過本數學結構的設計，利用生成數列的同構特性，可以很快的存取資料，以節省資訊的資源。 三、圖形密碼:如封面的圖形當作一種密碼系統。 為方便研究，我們將圖一著色如圖五。 將圖五座標訂定為由上而下的列數，由左而右數過來的個數，那麼我們會有 =5，以粉紅色標示；=4，以黃色標示； =4，以綠色標示； =3，以藍色標示。 規定 定義二 ：層結構中，第列第行的數字。 圖五 如圖一，我們把可能排的數字列出來找到一些關係。發現一個通則： 通則三 給定某一個層結構: 最上面的第一列全部擺1，第二列填入任意的自然數，第三列到第列數字依照 (2) 。 其中，，圖上的第一列的兩旁沒有使用到此通則。 若第列所產生數字都是自然數，且最後一列都是1，則是本研究將研究的結構。 三、研究目的 （一）研究圖一的數學結構，討論退化關係、對應關係、週期關係、分式多項式結構、擬對稱性關係。 （二）延伸倍數問題，研究層結構中各行或各列連續3個數之間的倍數關係，與梯形結構第2列的關係，進而發現數列轉換與是否同構的判斷準則。 （三）透過數列轉換，討論層梯形結構各列週期為連續整數和的不變量。 （四）討論非同構的組數問題。 貳、研究過程 一、存在性 依照通則三，如圖六，發現第2列先擺1，然後一直擺2，連續擺5次，再放一個1，再擺一個6，就可以構成7層的梯形結構。 前作品已經找到一種一般式的建構方式，並以數學歸納法證明： 演算方法四 給定自然數，第2列先擺1，然後擺2連續次，再放一個1，再擺一個，就可以構成一種層數的一般式。 演算方法四構造的層梯形結構可發現其第2列週期為。 圖六 再觀察圖六，