24向量组的秩.ppt

* * 向量组的极大线性无关组 两个向量组的等价关系 极大无关组的性质 第四节 向量组的秩 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩的关系 求向量组的极大无关组的方法 一、向量组的极大线性无关组 1. 引例 例 1 讨论 R4 中的向量组： ?1 = ( 1, 2, -1, 2 )T , ?2 = ( 2, 4, 1, 1 )T, ?3 = ( 2, 4, -2, 4 )T , ?4 = ( -1, -2, -2, 1 )T 中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量. 将这个例子推广到一般的情况，可以得到以下概念 2. 极大无关组的定义 定义 2.11 如果一个向量组的部分组 ?1 , ?2 , … , ?r 满足以下两个条件： (1) ?1 , ?2 , … , ?r 线性无关； (2) 向量组中的每一个向量都可以表为 ?1 , ?2 , … , ?r 的线性组合，也就是说，将向量组中的任意 一个向量添加到部分组 ?1 , ?2 , … , ?r 中，得到的向 量组都线性相关， 一个极大线性无关组，简称为极大无关组. 则称 ?1 , ?2 , … , ?r 为该向量组的 结论 (2). 一个线性无关的向量组的极大无关组就是本身. (3). 完全由零向量组成的向量组没有极大无关组. (4). 任何一个向量组，只要含有非零向量，就一定有极大无关组. 求向量组的极大无关组的方法 例如，设有向量组 于是向量组 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 的一个极大无关组为?1,?2 且?3 = -3?1 + 2?2 , ?4 = 4?1 - 3?2 . 并且 (3c_1-4c_2)a_1+(-2c_1+3c_2)a_2+c_1a_3+c_2a_4=0，因此 a_3=-3a_1+2a_2，a_4=4a_1-3a_2 求向量组的极大无关组的方法 求向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 的极大无关组并用极大无关组表示其余向量的方法是： STEP 1: 把向量组中的每一个列向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A ; STEP 2: 对 A 进行初等行变换，化为简化阶梯形 B ; STEP 3: B 中每一行第一个非零元(一定为 1 ，即首次下阶梯的元)所在的列对应的向量即为极大无关组中的向量，其它不在极大无关组中的列中位于阶梯线上方的元素，即为用极大无关组表示该列所对应的向量的表示系数. 所谓简化阶梯形是指，阶梯形，同时每个阶梯开始元素的上方元素也化简为0，并且该元素为1. 举例. 习题 P107, 11 (1) (3) 不要用书上94页的方法 二、两个向量组的等价关系 1. 等价的定义 定义 2.12 设有两个 Rn 中的向量组 I ： ?1 , ?2 , … , ?s , 与 II ： ?1 , ?2 , … , ?t . 如果向量组 I 的每一个向量都可以由向量组 II 线性 表出，则称向量组 I 可由向量组 II 线性表出； 如果 向量组 I 和向量组 II 可以互相线性表出，则称向量 组 I 和 II 等价. 记作 { ?1 , ?2 , … , ?s } ? { ?1 , ?2 , … , ?t } 例如，设 向量组 ?1 , ?2 与向量组 ?1 , ?2 等价. 2. 等价向量组的性质 1) 反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2) 对称性：如果向量组 ?1 , ?2 , … , ?t 与 ?1, ?2, …, ?s 等价，那么向量组 ?1, ?2, …, ?s 也与?1 , ?2 , … , ?t 等价. 3) 传递性：如果向量组 ?1 , ?2 , … , ?t 与?1, ?2, …, ?s 等价， ?1, ?2, …, ?s 与 ?1 , ?2 ,…, ?p 等价那么向量组 ?1 , ?2 , … , ?t 与 ?1 , ?2 ,…, ?p 等价. 思考 P106, 4 三、极大无关组的性质 定理 2.8 向量组和它的极大无关组等价. 推论　向量组的任意两个极大无关组之间等价. 用传递性可证 定理 2.9 如果向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 可由向量组 ?1 , ?2 , … , ?t 线性表出，并且 s t，则向量组 ?1 , ?2 , … , ?s 线性相关. 下面我们用一个例子说明这一定理，而不作一般的证明. 例 3 设 ?1 , ?2 , ?3 与 ?1 , ?2 是 Rn 中的两个向量组，且已知 ?1 = ?1 - 2?2 , ?2 = -2?1 + 3?2 , ?3 = ?1 +4?2 . 证明 ?1 , ?2 , ?3 线性相关