东北大学概率论课后习题答案.pptVIP

第五节 全概率公式与贝叶斯公式;全概率公式：设试验E的样本空间为 ,A为E的事件， B1,B2，…,Bn为 的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2, …,n),则 P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+…+P(A∣Bn)P(Bn). 全概率公式的含义：设划分中的事件B1,B2，…,Bn是事件A发生的全部原因，那么每个原因发生的概率与该原因导致A发生的概率乘积的和即为A发生的概率。;全概率公式的证明;解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l，2，3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”。易知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0．15，P(B2)=0．80，P(B3)＝0．05，P(A∣B1)=0．02，P(A∣B2)=0．01，P(A∣B3)=0．03。; ⑴由全概率公式 P(A)= P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3) =0.0125 ⑵由贝叶斯公式 ;解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个分割。用B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得;贝叶斯公式的证明;当n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式;什么是先验概率和后验概率？; 例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，他想用这类指标来帮助诊断。这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率。首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(A∣Bi)，这里当然主要依靠医学知识。有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(Bi∣A)，显然，对应于较大P(Bi∣A)的“病因”Bi，应多加考虑。在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助。在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。;例3 用血清甲胎蛋白法儿去诊断肝癌，如果一个人患有肝癌，化验结果为阳性（患病）的概率是0.95，如果一个人没患肝癌，化验结果为阴性（不患病）的概率是0.9，在人群中进行普查，普查数据显示，每10000个人中，仅有4个人患有肝癌，现有一人化验结???为阳性，求此人患有肝癌的概率。; 本题的结果表明，虽然P(A∣C)＝0．95，P( ∣ )＝0．95，这两个概率都比较高。但若将此试验用于普查，则有P(C∣A)＝0．038，亦即其正确性只有0.038(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有38人确患有癌症)。如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A∣C)和P(C∣A)混淆了会造成不良的后果。;例4 某产品的不合格率假设为0.1%，但是没有适当的仪器进行检验，有人发明了一种检验仪器，误判的概率为5%，厂方认为如果产品被判不合格，但实际上产品也是不合格的概率低于5%时，则不能采用仪器检验，问此人发明的仪器能否比采用，如果不能采用，能否通过降低误判率来达到厂方的要求。;例5 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种故障时，其合格率为55％。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95％。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?; 这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0．97。这里，概率0．95是由以往的数据分析得到的，是先验概率。而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0．97)是后验概率。有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解。