(a)将分解成部分分式.doc

甲部 (a) 將分解成部分分式。 (b) 證明 。 (5分) (a) 證明 。 一序列 {an} 定義如下： a1=6，ak+1=ak，k=1,2,3... 求ak，答案以n表示。 (5分) 3. (a) 設。證明對所有 x0，。 設a、b、p、q為正數，且 。證明 。 (5分) 4. 設A、 B、C依次為點 (a,0,0)、(0,b,0)、(0,0,c)，而O為原點。 求。 設以 X、Y、Z為頂點的三角形的面積記為 。 證明 2=2+2+2 。 (5分) 5. 設二項式 (1+x)2n依x的升冪序展開的第k項記作 TK。即 。 若 x=，求k值的範圍使 。 若 x=及n=15，求展開式中最大項。 (5分) 6. 設 f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c為實數，且 a≠0。證明對所有實數x,， ，則f(x)=x2。 (4分) 7. 某2×2矩陣M是R2中某變數T的矩陣表示，T將(1,0)及(0,1)依次轉換為(1,1)及(-1,1)。 求M。 (5分) 求λ0使M可分解成 ，其中。由此描述T的幾何意義。 8. 設 (L) 為直線， (C )為圓 。 在阿根圖上描繪 L。 設P、Q依次為 (L)及(C)上的點使PQ等於(L)及(C)間的最短距離。求PQ及代表P及Q的複數。 (6分) 乙部 9. 考慮線性方程組 (S)： , 其中。 證明 (S) 有唯一解的充分及必耍條件是 及。 (2分) 對以下各情況，求使 (S)有解的 k 值，並求(S)的解。 (8分) (i) 及 (ii) λ=0， (iii) λ=2。 若 有解 (x,y,z)滿足 (x-p)2+y2+z2 =1，求p值的範圍。(5分) 10. 設 及 ,=2,3,4...。 (a) 證明對任意正整數n，(i) an,bn0 及 ， (ii) (b) 對 n=1,2,3,...。定義 (i) 證明 。 (ii) 證明 (iii) 證明 。由此證明序列 {u1,u3,u5,...}嚴格遞增及{u2,u4,u6,...}嚴格遞減。 證明序列 {u1,u3,u5,...}及{u2,u4,u6,...}收歛至同一極限。 求此極限。 (4分+11分) 11. (a) 證明 。 (b) 設n為一整數。證明方程 ...(*) 的所有根可寫成 iαk。其中αk，k=0,1,...,n-1。 若iαk 為數(b)中 (*)　的根，利用根與係數關係，證明　。 設　P0,P1,...,Pn-1 為阿根平面上的ｎ個點，代表 (b)中(*)的根，而ｏ為原點。Q為化代表的點。其中。若dk至Q的距離，證明無關。 (3+4+5+3分) 12. A、B、C、D四點的位置向量依次為 a=7i+8j+3k、b=2i–7j+13k、c=17i–6j+3k及d=r(2i–4j–5k)。其中r為一非零實數。 證明 a、b及c 線性無關。 若 v=λa+μb，其中λ,μR及λ,μ，且v同時是向量c及d的線性組合。證明λ：μ=(–b?c×d)：(a?c×d)。由此計算λ：μ。 假設A、B、C、D、四點共面。 (i) 求r。 設E為AB及CD的交點。利用(b)或其他方法，求BE：EA及E的位置向量。 (3+5+7分) 13. (a) 設 P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,dR。 證明若α是P(x)的複數根，則亦為P(x)的根。 對任意實C，證明 是x的實係數二次多項式。由此證明P(x)可因式分解成兩個實係數二次多項式的積。 (b) 設 f(x)=x4+8x3+23x2+26x+7及g(x)=f(x+k)，其中kR及 g(x)中的x3係數為零。 求k及g(x)的各係數。 假設 g(x)=(x2+px+q)(x2+rx+s)，其中p,q,r,sR。籍比較係數或其他方法，證明p6–2p4+5p2–4=0。 求f(x)=0的所有根。 (6+9分) 14. (a) 若a、b為兩實數使，證明及等式成立的充分及必要條件為a=1或b=1(b) 運用數學歸納法，證明x1,x2,...xn為n(n≧2)個正實數使x1x2˙˙˙xn=1，則x1+x2+..+xn≧n 及等式成立的充分及必要條件為x1=x2=..=xn=1。 設a1,a2,...an為n(n≧2) 個正實數。利用(b)或其他方法，證明及等式成立的充分及必要條件為a1=a2=...=an。 對 及n=2,3,4...，利用恆等式 或其他方法，證明 及等式成成立的充分及必要條件為u=0。 (3+6+3+3分) 2001