1三次方程式.pdf

1. 三次方程式・四次方程式の解の公式 1 1 三次方程式・四次方程式の解の公式 1.1 ３次方程式の解の公式 一般にはax3 + bx2 + cx + d = 0 (a =6 0) が３次方程式である。これを、簡単な形に してから、解の公式を与えよう。 まず、両辺をa(=6 0) で割ることで、a = 1 と考えてよい。さらにb = 0 と考えてよい ことを示す。 1.1.1 チルンハウス変換 x3 + ax2 + bx + c = 0 を考える。 ２次方程式の解の公式を作るとき、平方完成するが、ここでも、x = t + α と置き換 えてみる。 (t + α)3 + a(t + α)2 + b(t + α) + c = 0 a t2 の係数= 3α+ a ゆえ、α= − とおくことで、２次の係数をなくすことができる。 3 ここから、いよいよ解の公式を作る。いくつかの方法があるが、ここでは、よく知ら れた方法を紹介する。 1.1.2 解の公式 x3 + ax + c = 0 を考えればよい。 ここで、天下り的ではあるがx = u + v とおく。与式は次のようになる。 (u + v)3 + a(u + v) + b = 0 u3 + v3 + 3uv (u + v) + a(u + v) + b = 0 (u3 + v3 + b) + (3uv + a)(u + v) = 0  3 3  u + v = −b ここで、もし a を満たすu, v を見つけることができれば、u + v uv = −  3 が解となるだろう。 u3 + v3 = −b  3 3 3 ところが、 a とみれば、u , v は、２次方程式 3 3  u v = − 27 3 2 a x + bx − = 0 27 1. 三次方程式・四次方程式の解の公式 2 の解となる。従って、u3 = − b + s b2 + a3 , v3 = − b −s b2 + a3 として 2 4 27 2 4 27 よい。 ここで、 3 u の値が実数とは限らないことに気をつけよう。そこでこの形の方程式を一 般に解いておこう。 1.1.3 x3 = 定数を解く 3 2 3 −1 + √−3 −1 −√−3 x −1 = (x −1)(x +x +1) なので、x = 1 の解は、x = 1, ,