1设a为有理数.doc

P.4 习题 1．设a为有理数，x为无理数，证明： （1）a + x是无理数； （2）当时，ax 是无理数. 证明 （1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数. （2）假设ax 是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数. 3．设，证明：若对任何正数ε有，则 a = b . 证明 由题设，对任何正数ε有，再由教材P.3 例2，可得，于是，从而 a = b . 另证 （反证）假设，由实数的稠密性，存在 r 使得. 这与题设“对任何正数ε有”矛盾，于是，从而 a = b . 5．证明：对任何有 （1）； （2） 证明 （1） （2）因为， 所以 6．设证明 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA 的长度是，OC的长度是， AC的长度为. 因为三角形两边的差 小于第三边，所以有 7．设 ，证明介于1与之间. 证明 因为， 所以介于1与之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则是无理数. 证明 （反证）假设为有理数，则存在正整数 m、n使得，其中m、n互素. 于是，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得. 于是，，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数. P.9 习题 2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S无上界； 若，，使得，则称S无上界. （请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界） （2）S无界. 若，，使得，则称S无界. （请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界） 3．试证明数集有上界而无下界. 证明 ，有，故2是S的一个上界. 而对，取，，但. 故数集S无下界. 4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） 解 ，. 下面依定义加以验证（可类似进行）. ，有，即是S的一个上界，是S的一个下界. ，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得，即，不是上界，所以. （2） 解 S无上界，故无上确界，非正常上确界为. 下面证明：. ① ，有，即 1 是S的一个下界； ② ，因为 ，即不是S的下界. 所以 . (3) 解 仿照教材P.6例2的方法，可以验证：. ⑷ 解 ， 首先验证. ① ，有，即 1 是S的一个上界； ② ，取正整数，使得，于是取. 从而，且. 所以 5．设S为非空有下界数集，证明： 证明：）设，则对一切，有，而，故是数集S中的最小的数，即. ）设，则；下面验证； ⑴ 对一切，有，即是数集S的下界； ⑵ 对任何，只须取，则. 所以. 6．设S为非空数集，定义. 证明： ⑴ ⑵ 证 ⑴ 设，下面证明：. ① 对一切，有. 因为，所以有，于是，即是数集S的上界； ② 对任何，有. 因为，所以存在，使得. 于是有，使得. 由①，②可知. 7．设A、B皆为非空有界数集，定义数集 证明：（1）； （2） 证明 （1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在. ，由定义分别存在，使得. 由于，，故，即是数集的一个上界. ，（要证不是数集的上界），，由上确界的定义，知存在，使得. 于是，再由上确界的定义，知存在，使得. 从而，且. 因此是数集的上确界，即 另证 ，由定义分别存在，使得. 由于，，故，于是 . ① 由上确界的定义，，，使得，，使得，从而，由教材P.3 例2，可得 ② 由①、②，可得 类似地可证明： P.15 习题 9．试作函数的图象 解 是以2π为周期， 定义域为，值域为 的分段线性函数，其图象如图. 11．试问是初等函数吗？ 解 因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数. 12．证明关于函数的如下不等式： （1）当时， （2）当时， 证明 （1）因为 ，所以当时，有，从而有. （2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不等式. P.20 习题 1．证明是R上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有 所以 f 在R上有界. 2．（1）叙述无界函数的定义； （2）证明为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解 （1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称 f 是D 上的无界函数. （2）分析：，要找，使得. 为此只需. 证明 ，取，则，且，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.