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§11.2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单调有界数列是有极限. 定理1(正项级数收敛的充要条件) 定理2(比较审敛法) 推论 解 定理2(比较审敛法) 设∑un和∑vn都是正项级数, 且un?kvn(k0, ?n?N). 若级数∑vn收敛, 则级数∑un收敛; 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. 设∑un和∑vn都是正项级数, 且un?kvn(k0, ?n?N). 若级数∑vn收敛, 则级数∑un收敛; 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. p?级数的收敛性 证: 定理2(比较审敛法) 例2 证明级数 是发散的. 因为 而级数发散 ? 故所给级数发散? 定理3(比较审敛法的极限形式) 解 解: 定理3(比较审敛法的极限形式) 例4 判别级数 的敛散性. 因为 而级数 发散? 故所给级数发散? 定理4(比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 解： 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 例5 用比值审敛法判定级数 的收敛性 。 级数的一般项为 ? 因为 所以? 根据比值审敛法可知所给级数发散? 所以? 根据比值审敛法可知所给级数收敛? 解 ： 定理4(比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 例6 用比值审敛法判定级数 的收敛性 。 因为 提示: 所以? 根据比值审敛法可知所给级数收敛? 解 定理4(比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 定理5(根值审敛法? 柯西判别法) 所以? 根据根值审敛法可知所给级数收敛? 因为 解 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 例8 用根值审敛法判定级数 的收敛性. 定理5(根值审敛法? 柯西判别法) 所以当b?a时级数收敛? 当b?a时级数发散? 因为 解: 收敛? 当??1(或????)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也可能发散? 例9 用根值审敛法判定级数 其中an?a(n??)? an? b? a 均为正数 的收敛性. 定理6(极限审敛法) 因为 解: 根据极限审敛法? 知所给级数收敛? 定理6(极限审敛法) 因为 解: 根据极限审敛法? 知所给级数收敛? 交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 例如? 二、交错级数及其审敛法 交错级数 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 定理7(莱布尼茨定理) (1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)? 则级数收敛? 且其和s?u1? 其余项rn的绝对值|rn|?un?1? 这是一个交错级数. 解： 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和su1?1, 则级数收敛, 且其和s?u1, 其余项rn的绝对值|rn