§7.3 方向导数、偏导数与全微分.ppt

§7.3 方向导数、偏导数与全微分 一、方向导数与偏导数 设v={v1,v2}是平面xOy平面上的单位向量(|v|=1), 在过点P0(x0, y0}且与方向v平行的直线 l 上任取P(x, y), 当P(x, y)沿着直线 l 变动时, 二元函数f(x, y)可表示为与 f(x, y)= f(x0+tv1, y0+tv2) 此时f(x, y)表示为t 的一元函数. 令 g(t)= f(x0+tv1, y0+tv2)，则 g(0)= f(x0, y0). 例1 设函数 f(x, y)=x2+y2, 分别计算函数在点(1,2)沿着 方向w=(3, -4) 与方向u=(1, 0)的方向导数。 定义7.4 设二元函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某领域有定义, 偏导数的几何意义 二、全微分 定义7.5 设z =f (x,y)在P0(x0,y0)的某领域内有定义, 给x0, y0一个改变量?x , ? y. 若z 的改变量可表示为 ?z= f(x0+ ?x, y0+ ?y)- f(x0, y0)= A?x+B?y+o(?) 其中A,B是只与P0(x0, y0), f(x, y)有关, 与?x, ?y无关的常量, ?2=?x2+ ?y2, o(?)表示(?x, ?y)?(0,0)时? 的高阶无穷小量, 称z =f (x,y)在P0(x0,y0)的处可微, 且称 A?x+B?y为z =f (x,y)在P0(x0,y0)的全微分. 函数z =f (x,y)在P0(x0,y0)的全微分记为 定理7.1 函数z =f (x,y)在P0(x0,y0)的可微, 则 (1) f (x,y)在点P0的偏导数存在,且 定理7.2 函数z =f (x,y)在P0(x0,y0)的偏导数在点P0(x0,y0)连续,则函数z =f (x,y)在P0(x0,y0)的可微. 三、梯度 定义7.6 设z=f (x,y)在点P(x0,y0)处存在偏导数fx? (x,y)和fx? (x,y),则称向量{fx? (x,y), fy? (x,y)}为函数f (x,y)在点P处的梯度, 记为为??f |P或grad f |P ,即 * 西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(2007~2008下) * 西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(上) // 因此必存在 t ?R, 使得 如果 存在, 称此导数值为函数f (x,y)在点P0(x0,y0)处沿着方向v 的方向导数. 记为 解: 将向量w =(3,-4) 单位化, 有 函数在点(1,2)沿着方向v=(0.6, -0.8)的方向导数为 函数在点(1,2)沿着方向v=(0.6, -0.8)的方向导数为 函数在点(1,2)沿着方向u=(1,0)的方向导数为 若方向导数 存在, 则称此方向导数为f (x,y)在点P0处的偏导数, 记为 例2 求z=sin(x+y)exy在点(1,-1)处的偏导数. 解 例3 已知函数z = xy+ln(xy)(x0, y0), 计算： 解: 例4 求函数u=cos(x2-y2-ez) 的偏导数. 解: 表示曲线 在点(x0,y0) 处的切线关于x 轴 的斜率; 表示曲线 在点(x0,y0) 处的切线关于y 轴 的斜率; 例5 讨论函数 在点(0,0)处的偏 导数与连续性的关系. 解 由偏导数的定义知道 函数f (x,y)在点(0,0)处的两个偏 导数均存在. 但是函数f (x,y)在点(0,0)处是不连续的. 函数z =f (x,y)在P0(x0,y0)的函数值的改变近似值为: (2) f (x,y)在点P0沿任意单位方向v={v1,v2}的方向导数存在,且 二元函数的可微性、偏导数存在及连续性之间的关系为: 偏导数存在且连续 可微 连续 偏导数存在 例6 求下列函数的全微分: 解 解 几何意义: 梯度方向是函数变化率最大的方向.