一、曲顶柱体的体积.doc

第十三章 重积分 §13.1 二重积分 一、曲顶柱体的体积 1．什么是曲顶柱体 （略） 2．曲顶柱体体积的计算 在中学，我们学过了一些空间立体体积的计算，如圆柱体积的计算、锥体体积的计算、球体体积的计算，等等。但是怎样求曲顶柱体体积的体积呢？与求曲边梯形面积的思想方法类似。 设有以连续的曲面为顶，区域D为底的曲顶柱体 （1）分割 将区域任意分成n个小区域：，第k个小区域的面积为(k=1,2,…,n)。 这样就把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体 （2）代替 当第k个小区域的直径很小时，第k个小曲顶柱体可近似看作平顶柱体。，于是，可用作为第k个小曲顶柱体的高。因此，第k个小曲顶柱体的体积为 ，(k=1,2,…,n) （3）作和 原曲顶柱体的体积为 （4）取极限 当分割很细很密时，即每个小区域的直径(k=1,2,…,n)都很小时，上述和式 二、二重积分的概念 由上面的例子舍去其几何意义，抽取其数学结构，即可抽象出一个新的数学概念——二重积分的概念。 1．定义 2．可积的条件，可积函数类 从定义可以看到，二重积分是定积分的一个推广。因此，定积分的一些概念和结论，可类似移到二重积分中来。 （1）小和与大和 设函数在有界闭区域R上有界。分法T将R分成n个小闭区域R1，R2，…，Rn，第k个小区域的面积为(k=1,2,…,n)。令 ， 其中称为函数在区域Rk上的振幅。 作和数 ， 分别称为函数在区域R上关于分法T的小和与大和。 显然，小和与大和只与分法T有关。并且这里的小和与大和跟一元函数的小和与大和有类似的性质，这里从略。 （2）可积的条件 与定积分类似，二重积分有下列可积的充分必要条件： 定理1函数在闭区域R上可积 （证明略） （3）可积函数类 与定积分类似，下列两类函数是可积的。 定理2 若函数在有界闭区域R上连续，则函数在有界闭区域R上可积 定理3 若函数在有界闭区域R上有界，间断点只分布在有限条光滑曲线上（可以有无限多个间断点），则函数在闭区域R上可积。 三、二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质： 定理4 ，其中表示R 的面积。 定理5 若函数在R 上可积，k是常数，则在R 上也可积，且 …………………… 四、二重积分的计算 定理11 若函数在闭矩形域上可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且 **（1）类似地，若函数在闭矩形域上可积，且，定积分存在，则累次积分也存在，且 （2）常简写为，于是 或 推论 若函数在区间[a,b]上可积，函数在区间[c,d]上可积，则函数在闭矩形域上可积，且 例1．求二重积分，其中 例2．求曲顶柱体的体积，其底是正方形区域，其顶是定义在R上的曲面（p、q是常数） 解：所求曲顶柱体的体积为 例3．若函数在[a , b]是正值连续函数，则 其中， 上述定理11中，积分区域R是比较特殊的区域——长方形区域。若积分区域是其它的区域，又怎样计算二重积分呢？ 定理12 设有界闭区域 R是由两条光滑曲线与，，且，以及直线与所围成。若函数在R可积，且，定积分 存在，则累次积分 也存在，且 **同样地，设有界闭区域 R是由两条光滑曲线与，，且，以及直线与所围成。若函数在R可积，且，定积分 存在，则累次积分 也存在，且 例4．求四个平面所围成的四面体的体积。 例5．证明：函数在由曲线所围成的三角形区域R连续，则 例6．求二重积分，其中D是由直线和双曲线所围成。 例7．将二重积分化为按不同积分次序的累次积分，其中R是由上半圆周、抛物线和直线所围成。 五、二重积分的换元 有时把二重积分直接化为累次积分来计算会比较复杂。这时可仿照定积分的计算那样，进行变量替换，可达到化繁为简，化难为易的效果。二重积分的变量替换是怎样进行的呢？有下面的定理。 定理13 若函数在有界闭区域R上连续，函数组 将平面上的区域一对一地变换为平面上的区域R，且的所有一阶偏倒数都连续，，有，则 例8．求曲线与直线所围成的区域R的面积。 解：注意到区域R的面积 根据曲线方程的特点，作变换，即……………… 则原xy平面上的区域R：曲线与直线所围成 uv平面上的区域R‘：由与所围成。 ……………………… 例9．求两条抛物线和两条直线所围成的区域R的面积。 解：根据曲线方程的特点，作变换，即………… 则区域R变为矩形区域R‘： ……………………… **二重积分变换中一种常用的变换——极坐标变换：。 一般地，当积分区域R或被积函数的表达式含有式子时，可考虑用极坐标变换； 极坐标变换把圆域R：化为矩形区域； 在极坐标变换下，，所以 当R由闭曲线围成，且原点是R的内点时，R变为，此时 例10．求以圆域R：为底，R上的曲面是的曲顶柱体的体积。 例11．求球体被圆柱面所截得的那部分立体的体积。