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一元二次方程式的根与系
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A2 一元二次方程式的根與係數的關係
在 4-1 節的想想看中，我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程
式的係數之間的關係。現在，我們來對這些關係做說明。
設α 、 為方程式 ax2 +bx +c 0 的兩個根，因此 ax2 +bx +c 0 可化
β
成 a(x −α)(x −β) 0 。我們知道
ax2 +bx +c a(x =−α)(x −β)
2 b c
⇒a(x + x + ) a(x =−α)(x −β)
a a
2 b c
⇒ x + x + (x =−α)(x −β)
a a
2 b c 2
⇒ x + x + x =−(α+β)x +αβ
a a
b c
經由比較係數，得到兩根的和α+ β − 及兩根的積α⋅β 。因此，一
a a
元二次方程式的根與係數間有以下的關係：
2 b c
若 ax +bx +c 0 的兩根為α 、 ，則α+ 及 。
β β − α⋅β
a a
事實上，由公式解也可以得到：
−b + b2 −4ac −b − b2 −4ac
α β
+ +
2a 2a
−2b b
−
2a a
和
−b + b2 −4ac −b − b2 −4ac
α β⋅ ⋅
2a 2a
(−b)2 −( b2 −4ac )2
4a2
4ac c
4a2 a
126
2
【範例1】設α 、 為
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