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一类条件不等式探源 陕西省绥德中学 王守文 718000 文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]分别介绍了下列不等式： 若且则 （1） 若且则 （2） 若，且则 （3） 若、、、且 则 （4） 若、、、且则 （5） 设、、且则 （6） 文[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]在介绍上述六个不等式的证明方法时，均用到了一些特殊技巧，一般不易想出来，文[7]用“磨光法”对（2）（3）进行了再证明，证法精妙，一般人也不易想到。本文将对上述类型条件不等式的根源进行探究，并给出此类问题的一般解法. 解析：不等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）的共同特征是： （Ⅰ）条件形式相同，均为：、……且（为定值）形式. （Ⅱ）不等式中若有“=”，则“=”成立的条件均为. （Ⅲ）在不等式（1）中，令 在不等式（2）中，令 在不等式（3）中，令 在不等式（4）中，令 在不等式（5）中，令 在不等式（6）中，令 则各不等式的结论形式相同，且具有一个共同特性，即均为凸函数.这正是此类不等式成立的根源. 定理1 已知函数在内可导，设 （1）当为上凸函数时， （2）当为下凸函数时， 证明：过点（）作曲线的切线，则的方程为由凸函数的性质知： 图1 图2 （1）当为上凸函数时，曲线在切线的下方.所以. （2）当为下凸函数时，曲线 在斜线的上方.所以. 定理2 已知 为连续凸函数，则 （1）当为上凸函数时， （2）当为下凸函数时， 证明： 设（）、（）则 直线的方程为 由图（1）、图（2）知定理2成立. 定理3 设 为凸函数，、……则 （1）当为上凸函数时， （2）当为下凸函数时， 证明：（略） 下面以不等式（1）为例来说明此类不等式的统一证法. 证明：设 由图象知如（图3），为上凸函数. 设（） （） 则弦的方程为 由定理2知 即成立 （Ⅰ） 取 则 ; 过点（、）作曲线的切线，则的方程为由定理1知 故 即 （Ⅱ） 综合（Ⅰ）（Ⅱ）得不等式（1）成立. 也可由定理3直接得 即. 由于篇幅所限，不等式（2）～（6）的证明本文不再叙述，方法同上。 说明：由定理2可将不等式（2）（3）（5）改进为： （2） （3） （5） 笔者认为，此类不等式的根源是凸函数的性质，即本文所列三个定理. 参考文献 [1]宋 庆. 数学问题解答1472. 数学通报2004年1月 [2]刘宜兵. 一个不等式的初等证明. 中学数学2006年10月 [3]田彦武. 一个不等式推广及猜想. 中学数学2007年2月 [4]孙志坤. 数学问题解答1660. 数学通报2007年3月 [5]陈宝安、安振平. 一个四元分不等式. 中学数学2007年7月 [6]丁兴春. 数学问题解答1694. 数学通报，2007年10月 [7]杨海林. 用磨光法对一个不等式及其推广的再证明. 中学数学，2007年9月 -3-