九年级数学二次函数（一）一周强化人教实验版.doc

二次函数（一）一周强化 一、一周知识概括 1、二次函数的定义 　　一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数． 　　注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式； 　　(2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数； 　　(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数； 　　(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数． 2、二次函数y=ax2的图象和性质 　　（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线． 　　二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)． 　　当a0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x0时，函数y随x的增大而减小；当x0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0； 　　当a0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x0时，函数y随x的增大而增大；当x0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0； 　　当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大． 　　（2）二次函数y=ax2的表达式的确定 　　因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值． 3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质 　　(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定． 　　(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴． 　　当a0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左测，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大． 　　当a0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小． 　　(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系． 　　抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c0时，向上平行移动，当c0时，向下平行移动． 二、重点知识讲解 1、二次函数的基本特征是其函数解析式是关于自变量的二次式，在判断一个函数是否为二次函数时，应抓住这个基本特征，同时应注意a≠0这个条件. 例1、下列函数中，（x，m为自变量），哪些是二次函数？ （1）n=m2－3m＋　　　（2）y=－1＋x2 （3）　　　（4） （5）y=ax2＋bx＋c　　　　（6） 解： 　　根据二次函数的定义可知 　　（1）（2）（6）是二次函数，其中（6）式可写成，而（3）的右边不是整式．（4）是m的二次函数，（5）中a应不为0． 2、学习y=ax2的图象及性质时应着重掌握对称轴、顶点、性质；在学习性质时，应当注意a的作用，它的符号决定了抛物线的开口方向，它的绝对值决定了抛物线的开口大小。 例2、在同一直角坐标系中， 　　(1)画出下列函数的图象．；y=2x2；；y=－2x2； 　　(2)说出四个图象的区别与联系． 分析： 　　列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去． 解：(1)列表： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 y=－2x2 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 　　描点； 　　连线．如图所示． 　　(2)四个图象的区别与联系，如下表： 函数 区别 联系 图象开口方向 抛物线位置 开口大小 y=2x2 a0，开口向上