线性代数 第34节 向量组的极大线性无关组(修改).ppt

第3.4节 向量组的极大 线性无关组 * 主要内容: 一．等价向量组 二．向量组的极大线性无关组 三 ．向量组的秩与矩阵秩的关系 一、等价向量组 定义1：如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。 即 （1）自反性：一个向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价； （3）传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。 向量组的等价关系具有以下三个性质： 定理1： 设 与 是两个向量组，如果 (2) 则向量组 必线性相关。 推论1： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 (1) 向量组 线性表示； 可以由向量组 推论2 推论3 等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。 任意m(mn)个n维向量必线性相关. 二、向量组的极大线性无关组 定义2: 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （2）A中的任一向量都能由 线性 表示。 例1：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 基本性质： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理2： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 性质1： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 性质2： 例1：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 （1） （2） 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 的 秩为2。 1. 向量组的秩 注： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 线性无关 向量组 线性相关 （3）如果向量组 可以由向量组 线性表示，则 定理3 等价的向量组有相同的秩。 该逆命题不成立。 但 不等价。 2. 矩阵的秩 2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义4： 矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩。 例2：讨论矩阵 矩阵A的行向量组是 的行秩和列秩 （1） 矩阵A的行秩为3 是A的行向量组的一个极大无关组 因为，由 即 可知 即 线性无关； 而 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 线性相关。 所以向量组 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 （1） 矩阵A的行秩为3 可证 矩阵A的列向量组是 可以验证 线性无关， 而 所以向量组 的一个极大无关组是 所以向量组 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。 （2） 矩阵A的列秩是3 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 定理4：矩阵的行秩＝矩阵的列秩