华东理工大学概率论与数理统计第五章.pptVIP

第5章 统计量及其分布 数理统计学中的基本概念 统计量及其分布 经验分布函数 数理统计学的任务 观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。 统计推断 伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。 总体 研究对象的全体(整体)X。 个体 每一个研究对象。 有限总体 无限总体 1.基本概念 样本 由部分个体构成的集合。 数理统计学中的基本概念 (X1,X2,…, Xn 样本容量 样本中所含个体的数目n. ） 注 样本观测值(x1,x2,…,xn）。 简单随机样本：独立、同分布性。 注意:样本是一组独立同总体分布的随机变量. 例如 检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则 总体 这批灯泡(有限总体) 个体 这批灯泡中的每一只 样本 抽取的100只灯泡(简单随机样本) 样本容量 100 样本值 x1,x2,…,x100 显然,可以选择“样本的函数”: 作为灯泡质量的一个衡量指标. 总体 选择个体 样本 观测样本 样本观察值 (数据) 数据处理 样本有关结论 推断总体性质 统计量 这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。 统计量的分布成为抽样分布. 统计的一般步骤 (2) 样本均值 (4) 样本方差 (5)样本标准差 (3) 样本k阶中心矩 (1) 样本k阶原点矩 注 常用统计量 设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X的样本. (1)四大分布及其分位数 ① 标准正态分布及其下侧分位数 若P(Zz1-α)=1-α, 则称z1-α为标准正态分布 的下侧1-α分位数. Z1-α α X φ(x) 其中 定义 设X~N(μ,σ2),则 ~N(0,1),对任意0α1, 正态总体下的常用统计量及其分布 例 设 是取自总体N(0,4)的简单随机样本 时, 解 由题意得 设随机变量 ,随机变量 Y ,且它们互相独立,则称随机变量 的分布为自由度是 n 的t 分布,记作 定义 t分布的密度曲线: X f(x) 特点 关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线. ③ t分布及其下侧分位数 t分布的下侧分位数 例:设t1-α(n)为t(n)的下侧1-α分位数则P(T t1-α(n))= , P(T- t1-α(n))= , P(|T| t1-α(n))= . X f(x) α 1-α 2α α 设X~t(n),对于给定α(0α1),若P(t(n) )=1-α, 则称 为t(n)分布的下侧1-α分位数. 服从( )分布,参数为( ). 例:设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分别是来自总体 X 和 Y 的 s.r.s,则统计量 t 9 解 故 与 独立, 所以 (4)设随机变量 随机变量 且 它们相互独立,则称随机变量 的分布为自 由度是 的 F 分布。 (1)若P(Fλ)=1-α,则 (2)若P(Fλ)=1-α,则 P(1/F1/λ)=1-α F分布的分位数 X f(x) 例9:设X~ , P(Xλ1)=0.025, 求λ1. 例10:设X~ ,P(Xλ1)=0.025, P(Xλ2)=0.05,求λ1,λ2. 例12:设随机变量X 服从正态分布 ,而 分别是来自总体 X 的 s.r.s, 证： 求证： 设 是来自总体 的 s.r.s, 分别是样本均值和修正样本方差,则