第一章矩阵的运算与初等变换第三讲.pptVIP

线性代数 教学目的：通过本节的教学使学生了解矩阵十分重要 的运算——矩阵的初等变换、初等方阵的概念，掌握初等 变换的方法. 教学要求：理解初等变换、初等方阵的概念，熟练掌握初等变换的运算，会用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形矩阵. 教学重点：矩阵初等变换和初等方阵，用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、行阶梯形矩阵. 教学难点：用初等变换将矩阵化为行阶梯形、行最简形、标准形矩阵的方法. 矩阵初等变换和初等方阵的关系. 教学时间：2学时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5 矩阵的初等变换 5.1 引例 求解线性方程组 (1) ① ② ③ ④ 第一章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) ÷ 1 2 3 (2) (2) (3) 3 2 1 3 1 4 － + －2 + + －3 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 2 × 1/2 3 + 5 2 4 －3 2 (4) (4) 3 4 －2 3 + 4 （5） ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 矩阵的初等变换 定义5.1 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (3) 换法变换: 交换矩阵的两行(列). (1) 倍法变换: 用一个数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素; (2) 消法变换: 用一个数乘矩阵的某行(列) 所有元素后加到另一行(列)对应的元素上去; ※ 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换: ※ 矩阵之间的等价关系具有下列性质： ※ 两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价. (3) 换法变换 的逆变换就是其本身. (1) 倍法变换 的逆变换为 ; (2) 消法变换 的逆变换为 ; ※ 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B 等价,记作A B. （1）反身性 A A ; （2）对称性 若A B，则B A； （3）传递性 若A B，B C，则A C. 定理5.1 设A为m×n矩阵，则A必可经过有限次初等变 换化为如下形式 其中G 称为矩阵A在初等变换下的标准形.简称为A的标准形矩阵. … …第r行. （6） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 若A为零矩阵，则定理显然成立，此时r = 0.否则，必可经过行、列的换法变换使第1行、第1列元素d 不 为零.以 乘第1行，化（1，1）元为1，在经过适当的行、列消法变换，将矩阵化为如下形式 如果bij(i=1,2,…,m;j=1,2, …,n)全为零，则B便是形如（6）式的矩阵（r=1）了.如若不然，在B的第2~m行，第2~n列中进行上述初等变换，即先使B的（2，2）元非零，化为1，在用适当的消法变换，将矩阵的第2行和第2列的其余非零 元素都化为0，注意到这些初等变换不改变B的第1 行及第1列的元素.至此，已将矩阵A化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如此继续下去，最后必能得到一个形如（6）式的矩阵.根据等价的定义，显然A G. 例1 求矩阵 的标准形矩阵. 解 对矩阵A施以初等行变换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为A的标准形矩阵. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在例1的计算中，我们暨使用了初等行变换，也使用了 初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行变换.例如， 引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有 → → → 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 行阶梯形矩阵： 行阶梯形矩阵的特点是：