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第4章 晶体点群及其应用;第1节 转动群和正交群 1.三维转动矩阵 1) 矢量转动 三维空间中的算符A，作用于任一矢量r上，给出同一空间中确定的矢量r’，并保持任意两个矢量在变换前后的内积不变，那么算符A就称作矢量的转动算符。 数学表达式为 Ar=r’, As=s’ 且满足 (r·s)=(r’·s’); 用一列矩阵表示矢量r及r’，从而得到Ar=r’的矩阵表 达式：;2)基矢的转动 当三维空间中的算符B作用于该空间的基矢i,j,k,并保持正交归一化关系不变时，就得到该空间的一组新基矢i’,j’,k’,新旧基矢之间的关系为 空间中任一矢量在新旧坐标中可以写成 写成矩阵形式则为;将(1)式和(2)式代入(3)式，得;3 正当转动群SO(3)群 所有满足detR=1的转动R的集合构成群，这个群就称为正当转动群。 (1)封闭性 (2)结合律 (3)逆元 (4)单位元 性质（1）正当转动的乘积仍是正当转动 （2）正当转动的逆仍是正当转动;4.非正当转动 detS=-1 即非正当转动的行列式为-1 注意：非正当转动不能构成群（为什么？） 非正当转动的两个基本转动 1）中心反演I ;2）镜像操作(旋转+反演) σv—竖直镜像 σh—水平镜像 …;5 正交群 当全部正当转动与非正当转动一起构成一个群，这个群就称为三维空间中的正交群，也称三维转动反演群。记为O(3)群 注：①SO(3)群是O(3)群的子群，而且是不变子 群 ②反演I与E可组成群Ci，由于I可与任何正 当转动对易，则有 O(3)=SO(3) Ci ③O(3)与G={1，-1}同态; 第2节 点 群 1.对称操作 物体具有对称性，就是指能对物体进行某种操作，这种操作使物体各点在空间的位置变动了，但任何一点都占有操作以前物体某点的位置，而且任意两点间的距离保持不变（物体完全复原） 三种基本的对称操作 旋转、反映、平移;1）点对称操作：旋转、反演、镜像等 操作特点：在操作的过程中，空间的某一点或某一条直线，或某一张平面，总之至少有一个空间中的点保持不动。重复若干次这样的某一个操作后，客体就回到起始位置。 2）非点对称操作：含平移的操作 两类：螺旋旋转和滑移反映 操作特点：对某一点??续施以包含平移的对称操作不能回到起始点，而是在进行了适当次数的这种操作后，得到一个距起始点的距离为点阵平移周期的整数倍的点;2.点对称操作 (1)操作方式： 主动操作：使空间中所有的点或位矢相对于固定的坐标轴移动。 被动操作：操作时让坐标轴移动，但空间中所有的点或位矢保持不动 (2)点对称操作：保持物体表现不变的正交变换 特点：物体中至少有一点操作不变 物体中任意两点之间的距离不变;3.点群定义：一定物体的全部点对称操作的集合（系统的对称性群） 4.点群分类： 第一类点群：仅仅有正当转动组成的点群 第二类点群：包含非正当转动的点群 5.正当转动点群 绕某轴转动ψ=2π/n角的操作，记为cn ; 第3节 对称操作 1.转动 最小转角 Φmin=2π/n 对于晶体点群，n=1,2,3,4,6； 对于分子点群，n可以取任意的正整数，甚至∞ 转轴的度数：n (HM:n,熊夫利斯符号记为Cn) 转轴的符号： C2- C3- C4- C6- 转动操作符号：Cnm（m=1,2,…n） 含义： Cnm=(Cn)m;2.镜像 对称元素： σv—竖直镜面 σh—水平镜面 σd—包含某一个对称轴并且平分另外两个二度轴夹角的镜面 特点：σkCk(θ)=Ck(θ)σk 3.反演 使任意位矢r变为-r的中心反演I，且I2=E，I=σhC2 特点：反演操作与其它任何点对称操作对易 ;4.旋转镜像 σkCk(θ) 像转轴的度数：n 记作Sn 符号：S2-- 二度的像转轴 S3-- 三度的像转轴 S4-- 一个四度像转轴一定包含一个二度轴 S6-- 一个六度像转轴一定包含一个三度轴 5.关于对称操作的两个定理 (1)两个相交平面的镜像操作的乘积是一个转动。转轴是两个平面的交线，转角是两平面夹角的两倍。 (2)绕轴u,v转动π角的两个转动操作的乘积是另一个转动操作，其转轴垂直于u,v，转角是u,v的两倍。 ;