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第八章 数列与无穷级数 §8.1 数列极限 数列 收敛数列 有界数列和单调数列 8.1.3 有界数列和单调数列 小结：数列极限的求法 * 上页 下页 ? 结束 返回 首页 例如, 有界 无界 定理6 收敛数列必是有界数列. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 定义 若对于任意正整数 均有 则称 是单调增加的数列(或单调不减的数列); 若对于任意正整数 均有 则称 是单调减少的数列(或单调不增的数列). 单调增加数列和单调减少数列统称单调数列. 定理7(单调有界准则) 单调有界数列必定是收敛数列. 定理 ( 单调数列收敛准则 ) (1) 如果单调增数列 { an } 有上界 , 即 则极限 存在 (2) 如果单调减数列 { an } 有下界 , 即 则极限 存在 例1 证明重要极限: 解 设 , 则 比较 xn 与 xn+1 的对应项可知: 即 是单调增数列 利用上式可得 所以 是单调增有上界数列 , 根据收敛准则 知 收敛 , 记其极限值为 e , 于是有 定理8 若数列 的子数列 及 均收敛, 且 则数列 收敛,并且 不作要求 1.化为定积分 若 f (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 则根据定积分的定义有 例4 解: 错 无穷多项相加 × × (一般只考虑[0,1]区间上定积分) 解: 当然，原式 n等分取端点 例5 解: 例6 例7 计算 解 记 则 由于 所以 2.化为函数的极限 例8 求下列数列的极限. 解 (1)设 则 由于 所以 (2)设 则 由于 所以 注: 数列极限的求法不能直接用洛必达法则. 3.拆项相消 例9 解: 例10 解: 注:有时从最高次添项补项，如P431 例9。 例11 解: 4.利用四则运算法则或夹逼准则 例12 求极限 解(1) (2)