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高三数学VIP讲义 第十一讲 等比数列复习 一 知识回顾 1．等比数列的定义：＝q（q为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m 注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）． 5．等比数列{an}的几个重要性质： ⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ． ⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列． ⑶若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ． 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若 (2)等比中项法:若 (3)通项法:若 (4)前n项和法:若 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想 ①运用等比数列的求和公式时,需要对讨论 ②当 当 二 典例精讲 例1已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值． 解：∵{an}是等比数列， ∴a1·an＝a2·an－1， ∴，解得或 若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64 ∴qn＝32q 由Sn＝， 解得q＝2，于是n＝6 若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2 ∴qn＝ 由Sn＝ 解得q＝，n＝6 变式训练1.已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝ ． 解：由 或 ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1 例有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为a－d，a，a＋d， 依题意有： 解得： 或 ∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1． 变式训练3.设是等差数列的前项和，，则等于（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18解析：由得，再由。例满足 （I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式； 解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。（I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列。 （II）解：由（I）得 　　 例4. 已知函数f(x)＝(x－1)2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1)，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，b1＝f(q－1)，b3＝f(q＋1)， (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有：，求数列{cn}前n项和Sn． 解：(1) a1＝(d－2)2，a3＝d2，a3－a1＝2d 即d2－(d－2)2＝2d，解之得d＝2 ∴a1＝0，an＝2(n－1) 又b1＝(q－2)2，b3＝q2，b3＝b1q2 即q2＝(q－2)2 q2，解之得q＝3 ∴b1＝1，bn＝3n－1 (2) Sn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn ＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n－1) 设1×3°＋2×3′＋3×32＋…＋n×3 n－1 31×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n －21＋3＋32＋33＋…＋3 n－1－n×3 n＝－3 n·n ∴Sn＝2n·3n－3n＋1 an}前n的项和为 Sn，且其中m为常数， （1）求证：{an}是等比数列； （2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求． 解：（1）由，得 两式相减，得 是等比数列． 　　 点评：为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题． 例6　设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得， 　　　数列是首项为，公差为的等比数列． 　　　， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找． 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以． 例7 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是